Travail d’une force

Expressions générales · Translation (constante / non constante) · Rotation (moment constant / variable)

Le travail d’une force traduit le transfert d’énergie associé au déplacement de son point d’application. Selon la nature du mouvement (translation ou rotation) et la constance (ou non) de la force (ou du moment), on distingue plusieurs expressions.

📌 1.4 Cas de la translation

a) Force constante

Pour une force constante \(\vec{F}\) appliquée à un solide en translation entre deux points A et B :

\( W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha \)

où \(\alpha\) est l’angle entre \(\vec{F}\) et le déplacement \(\vec{AB}\).

📘 Exemple – travail du poids :
\( W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(z_A – z_B) \)
(indépendant du chemin suivi, ne dépend que de la différence d’altitude).

b) Force non constante

Si la force varie au cours du déplacement, le travail est obtenu par intégration le long de la trajectoire :

\( W_{AB}(\vec{F}) = \displaystyle\int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{\ell} \)

📘 Exemple – force de rappel élastique :
\(\vec{T} = -k\,x\,\vec{i}\) (ressort). Déplacement de \(x_A\) à \(x_B\) : \[ W_{AB}(\vec{T}) = \int_{x_A}^{x_B} (-k\,x)\,dx = -\frac{1}{2}k\,(x_B^2 – x_A^2) \] \[ W_{AB}(\vec{T}) = \frac{1}{2}k\,x_A^2 – \frac{1}{2}k\,x_B^2 \]

🔄 1.5 Cas de la rotation

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe \(\Delta\), le travail d’une force est relié au moment de cette force par rapport à l’axe.

a) Moment constant

Si le moment \(\mathcal{M}_\Delta(\vec{F})\) est constant sur l’angle de rotation \(\Delta\theta = \theta_2 – \theta_1\) :

\( W(\vec{F}) = \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) \;\cdot\; \Delta\theta \)

Le travail est le produit du moment (constant) par l’angle balayé (en radians).

b) Moment non constant

Lorsque le moment dépend de la position angulaire \(\theta\) :

\( W(\vec{F}) = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \mathcal{M}_\Delta(\vec{F}) \; d\theta \)

📘 Exemple – couple de torsion :
\(\mathcal{M}_\Delta(C) = -C\,\theta\) (fil de torsion). De \(\theta_1\) à \(\theta_2\) : \[ W_t = \int_{\theta_1}^{\theta_2} (-C\,\theta)\,d\theta = -C\left[\frac{\theta^2}{2}\right]_{\theta_1}^{\theta_2} \] \[ W_t = \frac{1}{2}C\,(\theta_1^2 – \theta_2^2) = \frac{1}{2}C\,\theta_1^2 – \frac{1}{2}C\,\theta_2^2 \] (forme analogue au travail du ressort en translation)

🧠 Synthèse et analogies importantes

Translation

Force \(\vec{F}\) → travail \(W = \vec{F}\cdot\vec{d}\) (constante)
Force variable → \(W = \int \vec{F}\cdot d\vec{\ell}\)
Ressort : \(W = \frac{1}{2}k x_A^2 – \frac{1}{2}k x_B^2\)

Rotation

Moment \(\mathcal{M}_\Delta\) → travail \(W = \mathcal{M}_\Delta \cdot \Delta\theta\) (constant)
Moment variable → \(W = \int \mathcal{M}_\Delta \, d\theta\)
Torsion : \(W = \frac{1}{2}C \theta_1^2 – \frac{1}{2}C \theta_2^2\)

💡 Remarque fondamentale : Le travail d’une force (ou d’un couple) correspond à l’énergie transférée au système par cette action. Lorsque la force dérive d’une énergie potentielle, le travail s’exprime comme l’opposé de la variation d’énergie potentielle : \(W_{AB} = -\Delta E_p\).
Exemples :
• Poids → \(E_p = mgz\) ; \(W(\vec{P}) = mg(z_A – z_B) = -(mg z_B – mg z_A) = -\Delta E_p\)
• Ressort → \(E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2\) ; \(W(\vec{T}) = \frac{1}{2}k x_A^2 – \frac{1}{2}k x_B^2 = -\Delta E_{pe}\)
• Torsion → \(E_{pt} = \frac{1}{2}C \theta^2\) ; \(W_t = \frac{1}{2}C \theta_1^2 – \frac{1}{2}C \theta_2^2 = -\Delta E_{pt}\)

📖 Récapitulatif des expressions (2BAC) :
• Travail d’une force constante (translation) : \(W = \vec{F}\cdot\vec{AB}\)
• Travail du poids : \(W = mg(z_A – z_B)\)
• Travail de la force de rappel : \(W = \frac{1}{2}k x_A^2 – \frac{1}{2}k x_B^2\)
• Travail d’un couple de moment constant : \(W = \mathcal{M}_\Delta \cdot \Delta\theta\)
• Travail du couple de torsion : \(W = \frac{1}{2}C \theta_1^2 – \frac{1}{2}C \theta_2^2\)

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