Lois de Newton – Repérage et trajectoire

Lois de Newton

① Repérage d’un point G d’un mobile – vecteur position

Nous savons que le mouvement d’un corps est relatif à la référence choisie, c’est-à-dire que les corps ne se déplacent que par rapport à d’autres corps.
Donc pour étudier le mouvement d’un point G d’un solide, on choisit deux repères reliés à un référentiel :

Repère d’espace \( \mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \).
Repère de temps : un chronomètre dont l’origine des dates est \( t = 0 \) et d’unité la seconde (s).

La position du centre d’inertie \( G \) d’un système (S) est repérée à chaque instant par un vecteur appelé le vecteur position \( \overrightarrow{OG} \) tel que dans le repère cartésien \( \mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) :

\[ \overrightarrow{OG} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k} \]

La norme du vecteur position (la distance \( OG \)) est donnée par :

\[ OG = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Avec : \( x, y \) et \( z \) les coordonnées du point G dans le repère orthonormé \( \mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \) et \( \vec{i}, \vec{j} \) et \( \vec{k} \) des vecteurs unitaires de norme égale à 1.

Lorsque \( G \) est en mouvement, les coordonnées \( x, y \) et \( z \) varient au cours du temps et constituent des fonctions horaires \( x(t), y(t) \) et \( z(t) \).

② Trajectoire

La trajectoire d’un point mobile G dans un repère donné est une ligne formée par l’ensemble des positions occupées par G lors de son mouvement.
La trajectoire du point G est orientée par le sens de mouvement du mobile.

Cinématique – Vitesse et accélération

01 Vecteur vitesse instantanée

Dans un repère donné, le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G d’un mobile est la dérivée par rapport au temps du vecteur position \(\overrightarrow{OG}\) :

\[ \vec{v}_G = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt} \]

Les caractéristiques du vecteur vitesse instantanée sont :

Direction : tangent à la trajectoire au point G à l’instant t.
Sens : sens du mouvement.
Norme \(|\vec{v}_G|\) : valeur de la vitesse à l’instant t en (m.s\(^{-1}\)).

L’expression de \(\vec{v}_G\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est :

\[ \vec{v}_G = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k} \]

Avec :

\[ v_x = \frac{dx}{dt} = \dot{x}, \quad v_y = \frac{dy}{dt} = \dot{y} \quad \text{et} \quad v_z = \frac{dz}{dt} = \dot{z} \]

La norme du vecteur vitesse est :

\[ v_G = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

02 Vecteur accélération

01 Notion d’accélération

On considère une voiture qui se déplace le long d’un trajet rectiligne, et passe d’une vitesse de \(v_1 = 26 \, m.s^{-1}\) à une vitesse \(v_2 = 30 \, m.s^{-1}\) pendant la durée \(\Delta t = t_2 – t_1 = 2 \, s\). On dit que la vitesse de la voiture a augmenté, cette augmentation de la vitesse est appelée accélération de valeur :

\[ \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1} = \frac{30 – 26}{2} = 2 \, m.s^{-2} \]

Que ce changement de vitesse par rapport au temps soit une augmentation (accélération), une diminution (décélération) ou même un changement de direction, nous l’appelons accélération.

02 Vecteur accélération instantanée

Le vecteur accélération instantanée du centre d’inertie G d’un mobile est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse instantanée de son centre d’inertie G :

\[ \vec{a}_G = \frac{d\vec{v}_G}{dt} = \frac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2} \]

(a) Dans un repère cartésien

L’expression de \(\vec{a}_G\) dans le repère cartésien \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) est :

\[ \vec{a}_G = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} \]

Avec :

\[ a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = \ddot{x}, \quad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = \ddot{y} \quad \text{et} \quad a_z = \frac{dv_z}{dt} = \frac{d^2z}{dt^2} = \ddot{z} \]

La norme du vecteur accélération est :

\[ a_G = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \]

(b) Dans un repère de Frenet

Le repère de Frenet est un repère mobile lié au point G, son origine est le point G et ses vecteurs unitaires sont :

\(\vec{u}\) : tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement
\(\vec{n}\) : normal à la trajectoire et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

L’accélération dans la base de Frenet est donnée par :

\[ \vec{a}_G = a_T \cdot \vec{u} + a_N \cdot \vec{n} \]

Tel que :
\( a_T = \frac{dv}{dt} \) : accélération tangentielle
\( a_N = \frac{v^2}{\rho} \) : accélération normale ; avec \( \rho \) : le rayon de courbure de la trajectoire au point \( G \)

Remarque : Dans le cas où la trajectoire est circulaire de rayon \(R\), on a :
\[ \rho = R \]

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