Cours : Loi de Newton :

Chapitre 10 – Mécanique : Lois de Newton

Lois de Newton

Niveau : 2BACSPF · 4^ème partie : La mécanique

1 Vecteur vitesse

1.1 Repérage d’un point G d’un mobile – vecteur position

Nous savons que le mouvement d’un corps est relatif à la référence choisie, c’est-à-dire que les corps ne se déplacent que par rapport à d’autres corps.

Donc pour étudier le mouvement d’un point G d’un solide, on choisit deux repères reliés à un référentiel :

Repère d’espace R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\)).
Repère de temps : un chronomètre dont l’origine des dates est \(t=0\) et d’unité la seconde (s).

La position du centre d’inertie G d’un système (S) est repérée à chaque instant par un vecteur appelé le vecteur position \(\overrightarrow{OG}\) tel que dans le repère cartésien R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\)) :

\[ \overrightarrow{OG} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k} \]

La norme du vecteur position (la distance OG) est donnée par :

\[ OG = \lVert \overrightarrow{OG}\rVert = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \]

Avec : \(x\), \(y\) et \(z\) les coordonnées du point G dans le repère orthonormé R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\)) et \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\) et \(\vec{k}\) des vecteurs unitaires de norme égale à 1.

Vecteur position OG dans le repère R(O,i,j,k)

Vecteur position \(\overrightarrow{OG}\)

Lorsque G est en mouvement, les coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\) varient au cours du temps et constituent des fonctions horaires \(x(t)\), \(y(t)\) et \(z(t)\).

1.2 Trajectoire

La trajectoire d’un point mobile G dans un repère donné est une ligne formée par l’ensemble de positions occupées par G lors de son mouvement. La trajectoire du point G est orientée par le sens de mouvement du mobile.

Trajectoire d'une balle - sens du mouvement

Trajectoire de la balle et sens du mouvement

1.3 Vecteur vitesse instantanée

Dans un repère donné, le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G d’un mobile est la dérivée par rapport au temps du vecteur position \(\overrightarrow{OG}\) :

\[ \vec{v}_G = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt} \]

Les caractéristiques du vecteur vitesse instantanée sont :

Direction : tangent à la trajectoire au point G à l’instant \(t\).
Sens : sens du mouvement.
Norme \(v_G\) : valeur de la vitesse à l’instant \(t\), en \(\mathrm{m\,s^{-1}}\).

L’expression de \(\vec{v}_G\) dans le repère R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\)) est :

\[ \vec{v}_G = v_x\,\vec{\imath} + v_y\,\vec{\jmath} + v_z\,\vec{k} \]

Chronophotographie d’une balle rebondissante

Pour des positions successives très rapprochées \(G_3\), \(G_4\), \(G_5\), le vecteur vitesse au point \(G_4\) peut être approché par :

\[ \vec{v}_4 \approx \frac{\overline{G_3G_5}}{t_5-t_3} \]

Méthode des points successifs pour déterminer le vecteur vitesse

Détermination du vecteur vitesse \(\vec{v}_4\) à partir des positions \(G_3\), \(G_4\), \(G_5\)

Avec :

\[ v_x = \frac{dx}{dt} = \dot{x} \qquad,\qquad v_y = \frac{dy}{dt} = \dot{y} \qquad\text{et}\qquad v_z = \frac{dz}{dt} = \dot{z} \]

La norme du vecteur vitesse est :

\[ v_G = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} \]

Vecteur vitesse tangent à la trajectoire au point G

\(\vec{v}_G\) tangent à la trajectoire au point G

2 Vecteur accélération

2.1 Notion d’accélération

On considère une voiture qui se déplace le long d’un trajet rectiligne, et passe d’une vitesse de \(v_1 = 26\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) à une vitesse \(v_2 = 30\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) pendant la durée \(\Delta t = t_2-t_1 = 2\ \mathrm{s}\). On dit que la vitesse de la voiture a augmenté, cette augmentation de la vitesse est appelée accélération, de valeur :

\[ \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} = \frac{30-26}{2} = 2\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]

Que ce changement de vitesse par rapport au temps soit une augmentation (accélération), une diminution (décélération) ou même un changement de direction, nous l’appelons accélération.

2.2 Vecteur accélération instantanée

Le vecteur accélération instantanée du centre d’inertie G d’un mobile est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse instantanée de son centre d’inertie G :

\[ \vec{a}_G = \frac{d\vec{v}_G}{dt} = \frac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2} \]

(a) Dans un repère cartésien

L’expression de \(\vec{a}_G\) dans le repère cartésien R(O, \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\)) est :

\[ \vec{a}_G = a_x\,\vec{\imath} + a_y\,\vec{\jmath} + a_z\,\vec{k} \]

Avec :

\[ a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = \ddot{x} \qquad,\qquad a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = \ddot{y} \qquad\text{et}\qquad a_z = \frac{dv_z}{dt} = \frac{d^2z}{dt^2} = \ddot{z} \]

La norme du vecteur accélération est :

\[ a_G = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \]

(b) Dans un repère de Frenet

Le repère de Frenet est un repère mobile lié au point G, son origine est le point G et ses vecteurs unitaires sont :

\(\vec{u}\) : tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.
\(\vec{n}\) : normal à la trajectoire et dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

L’accélération dans la base de Frenet est donnée par :

\[ \vec{a}_G = a_T\,\vec{u} + a_N\,\vec{n} \]

Repère de Frenet avec accélération tangentielle et normale

Repère de Frenet : \(\vec{a}_T\), \(\vec{a}_N\) et \(\vec{a}\)

Tel que :

\[ a_T = \frac{dv}{dt} \ : \text{accélération tangentielle} \qquad\qquad a_N = \frac{v^2}{\rho}\ : \text{accélération normale} \]

avec \(\rho\) : le rayon de courbure de la trajectoire au point G.

Remarque : Dans le cas où la trajectoire est circulaire de rayon R, on a : \(\rho = R\).

2.3 Mouvement accéléré, décéléré et uniforme

L’accélération et la décélération sont une description de la variation de la vitesse (augmentation ou diminution). Pour cela, on étudie le signe de \(\vec{v}\cdot\vec{a}\) tel que :

Mouvement accéléré

\(\vec{v}\cdot\vec{a} > 0\)

Mouvement décéléré

\(\vec{v}\cdot\vec{a} < 0\)

Mouvement uniforme

\(\vec{v}\cdot\vec{a} = 0\)

Si \(\vec{v}\cdot\vec{a} > 0\) : alors le mouvement est accéléré.
Si \(\vec{v}\cdot\vec{a} < 0\) : alors le mouvement est décéléré.
Si \(\vec{v}\cdot\vec{a} = 0\) : alors le mouvement est uniforme.

3 Lois de Newton

Rappel :

Un système isolé est un système qui ne subit aucune force extérieure.
Un système pseudo-isolé est un système soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle : \(\sum \vec{F} = \vec{0}\).
Une force intérieure est exercée par un corps qui appartient au système étudié.
Une force extérieure est exercée par un corps qui n’appartient pas au système étudié.

3.1 Première loi de Newton – Principe d’inertie

Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un système est isolé ou pseudo-isolé, alors son centre d’inertie G soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, et inversement.

\[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{v} = \overrightarrow{cte} \ \ \big(\text{ou } \vec{v}=\vec{0}\big) \]

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.

Exemples :

Référentiel de Copernic

Son origine est le centre de masse du système solaire et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.

Référentiel héliocentrique

Son origine est le centre du Soleil et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes lointaines.

Référentiel géocentrique

Son origine est le centre de la Terre et ses axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes.

Référentiel terrestre

Considéré galiléen pour une durée très brève (durée d’une expérience très courte devant la période de rotation de la Terre autour d’elle-même).

En général, tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est considéré galiléen.

3.2 Deuxième loi de Newton – Principe fondamental de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures exercées sur un système ponctuel est égale au produit de sa masse \(m\) et le vecteur accélération \(\vec{a}_G\) de son centre d’inertie.

\[ \sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G \quad\Leftrightarrow\quad \sum \vec{F}_{ext} = m\,\frac{\Delta \vec{v}_G}{\Delta t} \]

Remarques :

La deuxième loi de Newton reste valable tant que la vitesse du solide est très inférieure à la vitesse de la lumière, c’est-à-dire \(v \ll c\), car si \(v\) est proche de \(c\), la masse du solide n’est plus constante : elle varie selon la loi d’Einstein \(m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\), \(m_0\) étant la masse du solide au repos.
La relation \(\sum \vec{F}_{ext} = m\,\dfrac{\Delta \vec{v}_G}{\Delta t}\) indique que pour une masse importante, la variation de la vitesse est petite. On dit que la masse s’oppose à la variation de vitesse.

Méthode

Comment appliquer la deuxième loi de Newton ?

Déterminer le système étudié.
Faire le bilan des forces appliquées et les représenter.
Écrire la relation vectorielle de la 2^ème loi de Newton.
Choisir un référentiel convenable.
Projeter la 2^ème loi de Newton sur les axes du référentiel.
Résoudre les équations.

3.3 Troisième loi de Newton – Principe des actions réciproques

La force \(\overrightarrow{F_{A/B}}\) exercée par un système A sur un système B et la force \(\overrightarrow{F_{B/A}}\) exercée par le système B sur le système A ont les mêmes valeurs, mêmes directions et des sens opposés :

\[ \overrightarrow{F_{A/B}} = -\overrightarrow{F_{B/A}} \]

Forces d'action et de réaction entre A et B

Principe des actions réciproques

4 Mouvement rectiligne uniforme et mouvement rectiligne uniformément varié

Mouvement rectiligne : la trajectoire de G est une droite, parallèle par exemple à l’axe (Ox).

\[ \overrightarrow{OG} = x\,\vec{\imath} \qquad\text{et}\qquad \vec{v} = v_x\,\vec{\imath} = \dot{x}\,\vec{\imath} \qquad\text{et}\qquad \vec{a} = a_x\,\vec{\imath} = \ddot{x}\,\vec{\imath} \]

4.1 Mouvement rectiligne uniforme

Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire est rectiligne et la vitesse est constante :

\(v_G = \overrightarrow{cte}\)
\(\vec{a}_G = \vec{0}\)
Équation horaire du mouvement : \(x(t) = v_G\cdot t + x_0\) avec \(x_0 = x(t=0)\).

4.2 Mouvement rectiligne uniformément varié

Mouvement rectiligne uniformément varié : la trajectoire est rectiligne et l’accélération est constante :

\(\vec{a}_G = \overrightarrow{cte}\)
Équation de la vitesse : \(v_G(t) = a_G\cdot t + V_0\) avec \(V_0 = v_G(t=0)\)
Équation horaire du mouvement : \(x(t) = \dfrac{1}{2}\,a_G\,t^2 + V_0\,t + x_0\) avec \(x_0 = x(t=0)\)

Rappel sur la projection :

Force perpendiculaire / parallèle à un axe

Projection d'une force perpendiculaire et d'une force parallèle à un axe

\[ \vec{F}\ \begin{cases} F_x = -F & \text{: projection de } \vec{F} \text{ sur l’axe (Ox)} \\ F_y = 0 & \text{: projection de } \vec{F} \text{ sur l’axe (Oy)} \end{cases} \]

\[ \vec{T}\ \begin{cases} T_x = 0 & \text{: projection de } \vec{T} \text{ sur l’axe (Ox)} \\ T_y = +T & \text{: projection de } \vec{T} \text{ sur l’axe (Oy)} \end{cases} \]

Force oblique

Projection de forces obliques avec angles alpha et beta

\[ \vec{F}\ \begin{cases} F_x = -F\sin\beta & \text{: projection de } \vec{F} \text{ sur l’axe (Ox)} \\ F_y = -F\cos\beta & \text{: projection de } \vec{F} \text{ sur l’axe (Oy)} \end{cases} \]

\[ \vec{T}\ \begin{cases} T_x = +T\sin\alpha & \text{: projection de } \vec{T} \text{ sur l’axe (Ox)} \\ T_y = +T\cos\alpha & \text{: projection de } \vec{T} \text{ sur l’axe (Oy)} \end{cases} \]