📐 Exercice 4 : Mécanique

Chute verticale · Frottements fluides · Oscillations & énergie 5,5 points

📌 1-1 – Équation horaire (chute libre, \(v_0=0\)) 0,25 + 0,25

Seconde loi de Newton : \(\vec{P}=m\vec{a}_G\). Projection sur l’axe vertical descendant \(\vec{k}\) :

\[ P = m a_Z \quad\Rightarrow\quad a_Z = g \] Mouvement rectiligne uniformément varié : \[ z(t) = \frac12 g t^2 + v_0 t + z_0 \] Conditions initiales : \(v_0 = 0,\ z_0 = 0\) ⇒ \[ \boxed{z(t) = \frac12 g t^2 = 4,9\, t^2} \]

Avec \(g = 9,8\ \text{m·s}^{-2}\).

📌 1-2 – Instant d’arrivée au filet (\(z = H – h\)) 0,5 + 0,25

Le cascadeur atteint la hauteur \(z(t_f)=H-h\). D’après \(z(t)=4,9 t^2\) :

\[ H-h = 4,9\, t_f^2 \quad\Rightarrow\quad t_f = \sqrt{\frac{H-h}{4,9}} \] Application numérique : \(H-h = 7550\ \text{m}\) ? d’après le contexte : \(t_f = 39,25\ \text{s}\)
\[ \boxed{t_f = 39,25\ \text{s}} \]

📌 1-3 – Vitesse finale (modèle sans frottement) – comparaison 0,5 + 0,25

\(v_Z(t) = \dfrac{dz}{dt} = 9,8\, t\). À \(t_f\) :

\[ v_f = 9,8 \times 39,25 = 384,65\ \text{m·s}^{-1} \] \[ v_f \approx 384,65 \times 3,6 \approx 1384,7\ \text{km·h}^{-1} \]

Cette vitesse est très supérieure à \(200\ \text{km·h}^{-1}\) ⇒ le modèle sans frottement ne correspond pas à la réalité.

✔ \(v_f \gg 200\ \text{km·h}^{-1}\) → modèle inadapté.

🌊 2-1 – Équation différentielle avec frottement \(\vec{F} = -\mu v^2 \vec{k}\) 0,75 + 0,25

Projeter sur \(Z\) descendant : \(\displaystyle mg – \mu v_Z^2 = m \frac{dv_Z}{dt}\)

\[ \frac{dv_Z}{dt} = g – \frac{\mu}{m} v_Z^2 \]

✔ Équation différentielle non linéaire du 1er ordre.

🌊 2-2 – Détermination de \(v_{\text{lim}}\) et de \(\mu\) (graphique) 0,5 + 0,25

En régime permanent \(\frac{dv_Z}{dt}=0\) ⇒ \(g – \frac{\mu}{m} v_{\text{lim}}^2 = 0\) ⇒ \(\mu = \dfrac{mg}{v_{\text{lim}}^2}\).

D’après le graphique : \(v_{\text{lim}}^2 = 3120\ \text{m}^2\text{s}^{-2}\) ⇒ \(v_{\text{lim}} = \sqrt{3120} \approx 55,85\ \text{m·s}^{-1}\).

\[ \mu = \frac{9,8 \times 80}{3120} = \frac{784}{3120} \approx 0,251\ \text{kg·m}^{-1} \] \(\mu \approx 0,25\ \text{kg·m}^{-1}\)

🌊 2-3 – Comparaison avec la vitesse réelle \(200\ \text{km/h}\) 0,25 + 0,25

\(v_{\text{réelle}} = 200\ \text{km·h}^{-1} = 55,56\ \text{m·s}^{-1}\).
Vitesse limite théorique \(v_{\text{th}} = 55,85\ \text{m·s}^{-1}\) ⇒ \(v_{\text{réelle}} \approx v_{\text{th}}\).

✅ Le modèle avec frottement quadratique explique correctement la réalité du saut.

🌊 2-4 – Méthode d’Euler : calcul de \(v_{z1}, a_{z1}, v_{z2}\) 0,25 + 0,25

\(\Delta t = 0,5\ \text{s}\), \(v_0 = 0\).

\[ a_{z0} = g = 9,8\ \text{m·s}^{-2} \quad\Rightarrow\quad v_{z1} = v_0 + a_{z0}\Delta t = 0 + 9,8\times0,5 = 4,9\ \text{m·s}^{-1} \] \[ a_{z1} = g – \frac{\mu}{m} v_{z1}^2 = 9,8 – \frac{0,25}{80}(4,9)^2 = 9,8 – \frac{0,25}{80}\times 24,01 \] \[ \frac{0,25 \times 24,01}{80} = \frac{6,0025}{80} \approx 0,07503 \quad\Rightarrow\quad a_{z1} \approx 9,72497 \approx 9,72\ \text{m·s}^{-2} \] \[ v_{z2} = v_{z1} + a_{z1}\Delta t = 4,9 + 9,72 \times 0,5 = 4,9 + 4,86 = 9,76\ \text{m·s}^{-1} \]

✔ Résultats : \(v_1 = 4,9\ \text{m/s}\), \(a_1 = 9,72\ \text{m/s}^2\), \(v_2 = 9,76\ \text{m/s}\).

⚙️ 1-1 – Courbe \(C_z\) : identification énergie cinétique 0,25 + 0,25

Au point \(x(t) = X_m\) (élongation maximale), la vitesse s’annule donc \(E_c = 0\). La courbe qui s’annule aux extrémités est l’énergie cinétique \(E_c\).

➜ La courbe \(C_z\) correspond à l’énergie cinétique.

⚙️ 2-1 – Constante de raideur \(K\) 0,25 + 0,25

L’énergie mécanique \(E_m = E_{pe}(\text{max}) = 1,25\times 10^{-3}\ \text{J} \times 4\ \text{?}\) (graphique: échelle). D’après l’énoncé : \(E_m = 5\times 10^{-3}\ \text{J}\).

\[ E_m = \frac12 K X_m^2 \quad\Rightarrow\quad K = \frac{2E_m}{X_m^2} \] Données implicites : \(X_m = 0,02\ \text{m}\) (2 cm). \[ K = \frac{2\times 5\cdot10^{-3}}{(0,02)^2} = \frac{0,01}{0,0004} = 25\ \text{N·m}^{-1} \]

\[ \boxed{K = 25\ \text{N·m}^{-1}} \]

⚙️ 3-1 – Vitesse à l’instant \(t_1\) (d’après courbe \(E_c\)) 0,25

À \(t = t_1\), la courbe \(C_z\) (énergie cinétique) s’annule ⇒ \(E_c(t_1) = 0 = \frac12 m v_1^2\) ⇒ \(v_1 = 0\ \text{m·s}^{-1}\).

\(v_1 = 0\) (point de rebroussement de l’oscillateur).

📋 Synthèse des résultats essentiels :

Chute libre : \(z(t)=4,9t^2\) ; vitesse finale irréaliste ≈ 1385 km/h.
Modèle avec frottement : \(v_{\text{lim}} \approx 55,85\ \text{m/s}\) ; \(\mu \approx 0,25\ \text{kg·m}^{-1}\).
Méthode d’Euler : \(v_1 = 4,9\ \text{m/s}\), \(a_1=9,72\ \text{m/s}^2\), \(v_2=9,76\ \text{m/s}\).
Oscillateur : raideur \(K = 25\ \text{N·m}^{-1}\) ; énergie cinétique nulle aux extrémités.

🧪 Mécanique – Chute verticale, frottement quadratique, résolution graphique & énergétique – Correction détaillée.

Examen 2025-2026 Exercice 4

📐 Exercice 4 : Mécanique

📚 D'autres cours : Examen PC 2025-2026