Physique Chimie

v.  Pendule de torsion

1) Le moment du couple de torsion (rappel)

Quand un solide tourne autour de l’axe du fil, le fil réagit à la torsion en exerçant des forces de rappel équivalentes à un couple de moment :

$M_\Delta(C)=-C.\theta$  avec $\begin{cases}\theta:\text{l’angle de torsion en (rad)}\\C:\text{constante de torsion dépend du fil}\end{cases}$

2) Etude dynamique

Le pendule de torsion est constitué d’un fil de torsion et d’une tige horizontale, lorsqu’en écarte la tige de sa position d’équilibre il oscille autour de sa position d’équilibre

On repère les positions de la tige à chaque instant par l’abscisse angulaire $\theta(t)$
Les forces exercées sur (la tige) :

➤ $\vec P$  Le poids de la tige de moment  $M_\Delta(\vec P)=0$  (La droite d’action de $\vec P$ est confondu avec $(\Delta)$)
➤ $\vec R$  Force exercée par le fil de moment  $M_\Delta(\vec R)=0$  (La droite d’action de $\vec R$ est confondu avec $(\Delta)$)
➤ Couple de torsion de moment  $M_C=-C.\theta$

On applique la relation fondamentale de la dynamique de rotation :  $\sum M_\Delta(\vec F_{ext})=J_\Delta.\ddot\theta$

$M_\Delta(\vec P)+M_\Delta(\vec R)+M_C=J_\Delta.\ddot\theta$
$0+0-C.\theta=J_\Delta.\ddot\theta$

D’où l’équation différentielle :   $\ddot\theta+\dfrac{C}{J_\Delta}.\theta=0$

La solution est de la forme :

$\theta(t)=\theta_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}.t+\varphi\right)$ avec $\begin{cases}\theta_m:\text{Amplitude maximale}\\T_0:\text{la période propre}\\\varphi:\text{la phase à l’origine des temps}\end{cases}$

En remplaçant $\ddot\theta(t)$ et $\theta(t)$ dans l’équation différentielle on obtient la période propre :   $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{C}}$

3) Etude énergétique

a) Energie cinétique

L’énergie cinétique du pendule de torsion est définie par :  $E_C=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2$

b) Energie potentielle de torsion $E_{Pt}$

L’énergie potentielle de torsion d’un pendule de torsion est définie par :  $E_{Pt}=\dfrac12C\theta^2+Cte$

Souvent on prend ($E_{Pt}=0$ pour $\theta=0$) ; donc $Cte=0$ d’où :   $E_{Pt}=\dfrac12C\theta^2$

c) Energie mécanique

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle

$E_m=E_C+E_{Pt}=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2+\dfrac12C\theta^2$

d) Conservation de l’énergie mécanique

En absence du frottement l’énergie mécanique est conservée

$E_m=\dfrac12J_\Delta\dot\theta_{max}^2=\dfrac12C\theta_{max}^2$

Remarque
On peut déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique

$E_m=cte$  $\Leftrightarrow$  $\dfrac{dE_m}{dt}=0$  $\Leftrightarrow$  $\ddot\theta+\dfrac{C}{J_\Delta}.\theta=0$

vi.  Pendule Pesant

On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur.

1) Etude dynamique

On repère les positions du solide (S) par l’abscisse angulaire $\theta(t)$
Les forces exercées sur (S) :

➤ $\vec P$  Le poids
➤ $\vec R$  Force exerce par l’axe $(\Delta)$
➤ Le moment de $\vec P$ :  $M_\Delta(\vec P)=-mgL\sin\theta$
➤ Le moment de $\vec R$ :  $M_\Delta(\vec R)=0$
(La droite d’action de $\vec R$ est confondu avec l’axe $(\Delta)$)

On applique la relation fondamentale de la dynamique de rotation

$M_\Delta(\vec P)+M_\Delta(\vec R)=J_\Delta.\ddot\theta$
$-mgL\sin\theta+0=J_\Delta.\ddot\theta$

L’équation différentielle :   $\ddot\theta+\dfrac{mgL}{J_\Delta}\sin\theta=0$

Pour des petites oscillations ($\sin\theta\sim\theta$):  $\ddot\theta+\dfrac{mgL}{J_\Delta}\theta=0$

La solution de l’équation différentielle (petites oscillations) est :

$\theta(t)=\theta_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}.t+\varphi\right)$ avec $\begin{cases}\theta_m:\text{Amplitude maximale}\\T_0:\text{la période propre}\\\varphi:\text{la phase à l’origine des temps}\end{cases}$

En remplaçant $\ddot\theta(t)$ et $\theta(t)$ dans l’équation différentielle on obtient la période propre :   $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac{J_\Delta}{mgL}}$

2) Etude énergétique

a) Energie cinétique

L’énergie cinétique du pendule pesant est définie par :  $E_C=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2$

b) Energie potentielle $E_{Pp}$

L’énergie potentielle d’un pendule pesant est :  $E_{PP}=mgL(1-\cos\theta)+Cte$
Pour des petites oscillations on a : $\cos\theta\sim1-\dfrac{\theta^2}{2}$  d’où :  $E_{PP}=\dfrac12mgL\,\theta^2+Cte$

c) Energie mécanique

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle

$E_m=E_C+E_{PP}=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2+\dfrac12mgL\,\theta^2$

d) Conservation de l’énergie mécanique

En absence du frottement l’énergie mécanique est conservée

$E_m=\dfrac12J_\Delta\dot\theta_{max}^2=\dfrac12mgL\,\theta_{max}^2$

Remarque
On peut déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique

$E_m=cte$  $\Leftrightarrow$  $\dfrac{dE_m}{dt}=0$  $\Leftrightarrow$  $\ddot\theta+\dfrac{mgL}{J_\Delta}\theta=0$

vii.  Le pendule simple

Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable, et oscillant sous l’effet de la pesanteur

1) Etude dynamique

On repère les positions du solide (S) par l’abscisse angulaire $\theta(t)$
Les forces exercées sur (S) :

➤ $\vec P$  Le poids
➤ $\vec R$  Force exerce par l’axe $(\Delta)$
➤ $M_\Delta(\vec P)=-mgL\sin\theta$
➤ $M_\Delta(\vec R)=0$  (Le droite d’action de $\vec R$ est confondu avec $(\Delta)$)

On applique la relation fondamentale de la dynamique de rotation

$M_\Delta(\vec P)+M_\Delta(\vec R)=J_\Delta.\ddot\theta$
($J_\Delta=mL^2$)    $-mgL\sin\theta+0=mL^2.\ddot\theta$

D’où l’équation différentielle :   $\ddot\theta+\dfrac gL\sin\theta=0$

Pour des petites oscillations $\sin\theta\sim\theta$:  $\ddot\theta+\dfrac gL\theta=0$

La solution de l’équation différentielle (petites oscillations) est :

$\theta(t)=\theta_m\cos\left(\dfrac{2\pi}{T_0}.t+\varphi\right)$ avec $\begin{cases}\theta_m:\text{Amplitude maximale}\\T_0:\text{la période propre}\\\varphi:\text{la phase à l’origine des temps}\end{cases}$

En remplaçant $\ddot\theta(t)$ et $\theta(t)$ dans l’équation différentielle on obtient la période propre :   $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac Lg}$

2) Etude énergétique

a) Energie cinétique

L’énergie cinétique du pendule pesant est définie par :  $E_C=\dfrac12J_\Delta\dot\theta^2=\dfrac12mL^2\dot\theta^2$   Car ($J_\Delta=mL^2$)

b) Energie potentielle $E_{PP}$

L’énergie potentielle d’un pendule simple est :  $E_{PP}=mgL(1-\cos\theta)+Cte$
Pour des petites oscillations on a : $\cos\theta\sim1-\dfrac{\theta^2}{2}$  d’où :  $E_{PP}=\dfrac12mgL\,\theta^2+Cte$

c) Energie mécanique

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle

$E_m=E_C+E_{PP}=\dfrac12mL^2\dot\theta^2+\dfrac12mgL\,\theta^2$

d) Conservation de l’énergie mécanique

En absence du frottement l’énergie mécanique est conservée

$E_m=\dfrac12mL^2\dot\theta_{max}^2=\dfrac12mgL\,\theta_{max}^2$

Remarque
On peut déterminer l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique

$E_m=cte$  $\Leftrightarrow$  $\dfrac{dE_m}{dt}=0$  $\Leftrightarrow$  $\ddot\theta+\dfrac gL\theta=0$