Circuit RLC en série

Circuit RLC en série

Circuit RLC en série

i.Circuit RLC

1)  Equation différentielle vérifie par UC(t)

Circuit RLC : association série d’un condensateur chargé de capacité C  et d’une bobine d’inductance  L  et un conducteur ohmique de résistance R

En appliquant la loi d’additivité des tensions :

UC + UR + UL = 0    ⇔    UC + R. i + r. i + Ldidt = 0

UC + (R + r)i + Ldidt = 0  ⇔  UC + (R + r)CdUCdt + LCd2UCdt2 = 0

d2UCdt2 + R + rL. dUCdt + 1LCUC = 0

ii.Circuit LC

Circuit LC : association série d’un condensateur chargé de capacité C et d’une bobine idéale(L, r = 0)

1)  Equation différentielle vérifie par UC(t)

En appliquant la loi d’additivité des tensions :

UC + UL = 0   ⇔   UC + Ldidt = 0
UC + Ldidt = 0  ⇔  UC + LCd2UCdt2 = 0

d2UCdt2 + 1LCUC = 0

  • La solution de l’équation différentielle est sous la forme :

UC(t) = Um cos(2πT0. t + φ)avec

Um: la valeur maximale de la tension
T0: la période propre
φ: la phase à l’origine des temps

  • En remplaçant UC(t) dans l’équation différentielle on trouve la période propre :    T0 = 2π√L C

iii.Régimes d’oscillations

1)  Les trois régimes d’oscillations

Régime périodiqueRégime pseudopériodiqueRégime apériodique
(R + r = 0)
(R + r faible)
(R + r grande)
la période propre :
T0 = 2π√L C		la pseudo-période :
T ≈ T0 = 2π√L C		pas d’oscillations
COURS  2BAC PC
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2)  L’énergie dans un circuit RLC

  • L’énergie totale d’un circuit (RLC) série est donnée par :  ET = Em + Ee = 12. C. UC2 + 12. L. i2
(R + r = 0)(R + r ≠ 0)
  • Dans le régime périodique (R + r = 0) il y-a conservation de l’énergie totale  dETdt = 0

ET = 12. C. U2cmax = 12. L. i2max

  • Dans le régime pseudo périodique et apériodique (R + r ≠ 0) il y a dissipation d’énergie par effet joule

dETdt = −(R + r). i2

3)  Entretien des oscillations

Principe

Dans un circuit (RLC), l’amortissement des oscillations est dû à une perte d’énergie par effet Joule

Les oscillations peuvent être entretenues par un générateur G qui compense les pertes d’énergie

Etude théorique

On réalise le montage suivant dans lequel le générateur G délivre une tension proportionnelle à l’intensité du courant qu’il débite. UG = k. i

En appliquant la loi d’additivité des tensions :

UC + UR + UL = UG
UC + R. i + r. i + Ldidt = k. i
UC + (R + r − k)i + Ldidt = 0
UC + (R + r − k)CdUCdt + LCd2UCdt2 = 0

d2UCdt2 + R+r−kL. dUCdt + 1LCUC = 0

On règle k sur la valeur :  k = R + r

L’équation différentielle devient :  d2UCdt2 + 1LCUC = 0

C’est l’équation différentielle d’un circuit (LC) non amortie de période  T0 = 2π√L C

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📚 D'autres cours : 08 : Les oscillations libres dans un circuit RLC série 2+6h