Résumé : Oscillations libres : circuit RLC

Oscillations libres : circuit RLC

Oscillations libres : circuit RLC2BAC

1)- Le circuit RLC :

Le condensateur initialement est chargé
On Décharge le condensateur dans la bobine
a)- Les différents régimes des oscillations libres

Régime périodique : R=0 (circuit LC)
	oscillations libres non amorties (sinusoïdales) $T_0=2\pi.\sqrt{LC}$
Régime pseudopériodique : R faible
	oscillations libres amorties T : le pseudo période $T=T_0=2\pi.\sqrt{LC}$ $C=\dfrac{T^2}{4\pi^2L}$ $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2C}$
Le phénomène d’amortissement est dû à la dissipation (perte) d’énergie par effet joule dans R
Régime apériodique : R très grande
	Pas d’oscillations Le phénomène d’amortissement augmt avec R

b) L’équation différentielle du circuit RLC :

uc	q
$u_R+u_L+u_C=0$ $R_ti+L\dfrac{di}{dt}+u_C=0$ $\dfrac{R_t}L\dfrac{du_c}{dt}+\dfrac{d^2u_c}{dt^2}+\dfrac1{LC}u_c=0$	$u_R+u_L+u_C=0$ $R_ti+L\dfrac{di}{dt}+\dfrac qC=0$ $R_t\dfrac{dq}{dt}+L\dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac qC=0$

2)- Le circuit LC :

a)L’équation différentielle :

uc	q
$u_L+u_C=0$ $L\dfrac{di}{dt}+u_C=0$ $LC\dfrac{d^2u_c}{dt^2}+u_C=0$ $\dfrac{d^2u_c}{dt^2}+\dfrac1{LC}u_C=0$	$u_L+u_C=0$ $L\dfrac{di}{dt}+\dfrac qC=0$ $L\dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac qC=0$ $\dfrac{d^2q}{dt^2}+\dfrac q{LC}=0$

b) Solution de l’équation différentielle

$u_C=U_m.\cos(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi)$	$q=q_m.\cos(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi)$
$U_m$ l’amplitude en (V) $T_0$ la période propre en(s) φ la phase à t=0 en (rad).	Détermination de φ $u_C(0)=U_m.\cos(\varphi)$
si $u_C(0)=U_m\to\varphi=0$	si $u_C(0)=-U_m\to\varphi=\pi$

c)$T_0$ la période propre :
$\dfrac{du_c}{dt}=-\dfrac{2\pi}{T_0}U_m\sin(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi)$
$\dfrac{d^2u_c}{dt^2}=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2U_m\cos(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi)=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2u_c$
d’après (ED) : $\dfrac{d^2u_c}{dt^2}=-\dfrac1{LC}u_c$
donc : $\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2=\dfrac1{LC}\ \Leftrightarrow\ T_0=2\pi.\sqrt{LC}$

dimension de $T_0$ : $[T_0]=([L].[C])^{\frac12}$
$\begin{cases}i=C\dfrac{du_c}{dt}\Rightarrow[C]=\dfrac{[I].[t]}{[U]}\\u_L=L\dfrac{di}{dt}\Rightarrow[L]=\dfrac{[U]}{[I]}[t]\end{cases}$
$\to[T_0]=([t].[t])^{\frac12}=[t]$

c)Expression de l’intensité du courant i(t) :
$i=C\dfrac{du_c}{dt}=-\dfrac{2\pi}{T_0}CU_m\sin(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi)$

3)- Etude énergétique :

$E_e=\dfrac12CU_c^2$	l’énergie électrique dans le condensateur
$E_m=\dfrac12Li^2$	l’énergie magnétique dans la bobine
$E_t=\xi_m+\xi_e$	l’énergie totale

a)- du circuit LC :

La forme d’énergie a un instant donnée :
	■ L’énergie est électrique $u_C=U_m$ et i=0 $E_t=\dfrac12CU_m^2$ ○ L’énergie est magnétique $u_C=0$ et $i=I_m$ $E_t=\dfrac12L.I_m^2$

$E_t$ se conserve car $\dfrac{dE_t}{dt}=0$ $E_t$=cte

b)- du circuit RLC :

$E_t$ décroit grâce au dissipat d’énergie par effet joule.
L’énergie dissipée $E_J$ entre $t_1$et $t_2$
$E_J=|\Delta E_t|\Leftrightarrow\Delta E=E_{t2}-E_{t1}$
$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})$
NB : T=2$T_E$ T : le pseudo période
$T_E$ : période d’énergies

L’énergie dissipée $E_J$ entre $t_1$et $t_2$
1^er cas : courbe de Uc ou q :

$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})=E_{e2}-E_{e1}$
$\Delta E=\dfrac12C.U_{C2}^2-\dfrac12C.U_{C1}^2$ ou $\Delta E=\dfrac12\dfrac{q_2^2}C-\dfrac12\dfrac{q_1^2}C$

2^eme cas : courbe de i ou uR

L’énergie dissipée $E_J$ entre $t_1$et $t_2$ :
$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})=E_{m2}-E_{m1}$
$\Delta E=\dfrac12Li_2^2-\dfrac12Li_1^2$ ou $\Delta E=\dfrac12L.\dfrac{u_{R2}^2}{R^2}-\dfrac12L.\dfrac{u_{R1}^2}{R^2}$

4)- Entretien des oscillations :

a)le rôle de G (générateur d’entretien) :c’est récompenser ou récupérer l’énergie dissipée
$U_G=ki$
b) l’équation différentielle :
$u_R+u_L+u_C=U_G$
$(r+r’-k)i+L\dfrac{di}{dt}+u_C=0$
c)pour obtenir un Régime périodique :
⇒ $k=r+r’$

Physique Chimie

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