Physique Chimie

1-La bobine :

a) Tension aux bornes de la bobine :

$u_L=ri+L\dfrac{di}{dt}$

$r$ = résistance interne ($\Omega$)   $L$ = inductance de la bobine (H)

◆ Cas particuliers :
* Courant continu : $\dfrac{di}{dt}=0\to u_L=r.i$   Elle se comporte comme un conducteur ohmique
*si $r=0$ bobine idéale   $u_L=L.\dfrac{di}{dt}$

b) Influence d’une bobine sur un circuit :

◆ la lampe $L_2$ s’allume et s’éteinte après $L_1$
La bobine retarde l’établissement et la rupture de courant

c)l’énergie magnétique emmagasinée :

2- Etablissement de courant :

a) l’équation différentielle de i :

$L\dfrac{di}{dt}+ri+Ri=E\ \Leftarrow\ u_L+u_R=E$
$\dfrac{L}{R_t}\dfrac{di}{dt}+i=\dfrac{E}{R_t}\ \Leftarrow\ L\dfrac{di}{dt}+(R+r)i=E$

L’équation différentielle de $u_R$
$\dfrac{L}{R+r}.\dfrac{dRi}{dt}+Ri=\dfrac{R.E}{R+r}\Rightarrow\dfrac{L}{R+r}\dfrac{du_R}{dt}+u_R=\dfrac{R.E}{R+r}$

b) Solution de l’équation différentielle :

S écrit   $i(t)=A(1-e^{-t/\tau})$   on Dérive puis
On remplace -Factorisation par $Ae^{-t/\tau}$
$\Rightarrow\begin{cases}\tau=\dfrac{L}{R_t}\\A=\dfrac{E}{R_t}\end{cases}$

2ème Cas : La solution : $i=A+Be^{-\alpha t}$
$\begin{cases}\alpha=\dfrac{R_t}{L}\\A=\dfrac{E}{R_t}\end{cases}$
On détermine B par condition initial :
à t=0 : $i(0)=A+Be^0$ et $i(0)=0$
$\Rightarrow A+B=0\Rightarrow B=-A=-\dfrac{E}{R_t}$

c)Détermination τ et Ip :

d) analyse Dimensionnelle τ :

$[\tau]=\dfrac{[L]}{[R]}=\dfrac{[U][t]/[I]}{[U]/[I]}=[t]$
$[L]=\dfrac{[U][t]}{[I]}\Leftarrow u_L=L.\dfrac{di}{dt}$   $[R]=\dfrac{[U]}{[I]}\Leftarrow u_R=R.i$

e)l’expression de I_p (régime permanant)

Au régime permanant $i=cste\Rightarrow\dfrac{di}{dt}=0$
$\dfrac{L}{R+r}.0+i_p=\dfrac{E}{R+r}\Rightarrow$

f) tension aux bornes de la bobine :

$u_L+u_R=E\Rightarrow u_L=E-u_R$
Tension $u_R$ : $u_R(t)=\dfrac{RE}{R+r}(1-e^{-t/\tau})$
$u_L=\dfrac{E}{R+r}(r+Re^{-t/\tau})$

$u_R(t)$ a la même allure que $i(t)$
cas : ou $(r\approx0)$
$u_R=E(1-e^{-t/\tau})$   et   $u_L=Ee^{-t/\tau}$

3-Rupture(Annulation) de courant :

– Le rôle de la diode élimine la surtension.

a) l’équation différentielle de i :

b) Solution de l’équation différentielle :

c) tension aux bornes de la bobine (r ≠ 0)

$u_L+u_R=0\Rightarrow u_L=-u_R$
$u_L=-u_R=-R.i\Rightarrow u_L=-\dfrac{RE}{R+r}e^{-t/\tau}$

d)l’influence de R et L

4-détermination de L par GBF

$s_x=2ms/div$ ; $s_y=2v/div$ ; $R=500\Omega$ ; $r=0\Omega$

1)- Le circuit RLC :

$R_t=R+r$   Le condensateur initialement est chargé
On Décharge le condensateur dans la bobine
a)- Les différents régimes des oscillations libres

Régime périodique : R=0 (circuit LC)

oscillations libres non amorties (sinusoïdales)
$T_0=2\pi.\sqrt{LC}$

Régime pseudopériodique : R faible

oscillations libres amorties
$T$ : le pseudo période $T=T_0=2\pi.\sqrt{LC}$
$C=\dfrac{T^2}{4\pi^2.L}$   $L=\dfrac{T^2}{4\pi^2.C}$

Le phénomène d’amortissement est dû à la dissipation (perte) d’énergie par effet joule dans R

Régime apériodique : R très grande

Pas d’oscillations
Le phénomène d’amortissement augmt avec R

b) L’équation différentielle du circuit RLC :

2)- Le circuit LC :

a)L’équation différentielle :

b) Solution de l’équation différentielle

$U_m$ l’amplitude en (V)   $T_0$ la période propre en(s)   $\varphi$ la phase à t=0 en (rad).
Détermination de $\varphi$ : $u_C(0)=U_m.\cos(\varphi)$
si $u_C(0)=U_m\to\varphi=0$   si $u_C(0)=-U_m\to\varphi=\pi$

c)T₀ la période propre :
$\dfrac{du_C}{dt}=-\dfrac{2\pi}{T_0}U_m\sin\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$
$\dfrac{d^2u_C}{dt^2}=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2U_m\cos(\ldots)=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2u_C$
d’après (ED) : $\dfrac{d^2u_C}{dt^2}=-\dfrac{1}{LC}u_C$
donc : $\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2=\dfrac1{LC}\ \Leftrightarrow\ T_0=2\pi.\sqrt{LC}$

dimension de T₀ : $[T_0]=([L].[C])^{1/2}$
$i=C\dfrac{du_C}{dt}\Rightarrow[C]=\dfrac{[I].[t]}{[U]}$   $u_L=L\dfrac{di}{dt}\Rightarrow[L]=\dfrac{[U]}{[I]}[t]$
$\to[T_0]=([t].[t])^{1/2}=[t]$

c)Expression de l’intensité du courant i(t) :
$i=C\dfrac{du_C}{dt}=-\dfrac{2\pi}{T_0}CU_m\sin\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$

3)- Etude énergétique :

a)- du circuit LC : La forme d’énergie a un instant donnée :

■ L’énergie est électrique $u_C=U_m$ et $i=0$   $E_t=\dfrac12CU_m^2$
□ L’énergie est magnétique $u_C=0$ et $i=I_m$   $E_t=\dfrac12LI_m^2$

$E_t$ se conserve car $\dfrac{dE_t}{dt}=0$   $E_t=cte$

b)- du circuit RLC :

$E_t$ décroit grâce au dissipat d’énergie par effet joule.
L’énergie dissipée $E_J$ entre $t_1$ et $t_2$
$E_J=|\Delta E_t|\Leftrightarrow\Delta E=E_{t2}-E_{t1}$
$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})$
NB :   $T=2T_E$   T : le pseudo période ; $T_E$ : période d’énergies

L’énergie dissipée $E_J$ entre $t_1$ et $t_2$
1^er cas : courbe de Uc ou q :

$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})=E_{e2}-E_{e1}$
$\Delta E=\dfrac12CU_{C2}^2-\dfrac12CU_{C1}^2$ ou $\Delta E=\dfrac12\dfrac{q_2^2}{C}-\dfrac12\dfrac{q_1^2}{C}$

2^ème cas : courbe de i ou u_R

$\Delta E=(E_{e2}+E_{m2})-(E_{e1}+E_{m1})=E_{m2}-E_{m1}$
$\Delta E=\dfrac12Li_2^2-\dfrac12Li_1^2$ ou $\Delta E=\dfrac12L.\dfrac{u_{R2}^2}{R^2}-\dfrac12L.\dfrac{u_{R1}^2}{R^2}$

4)- Entretien des oscillations :

a)le rôle de G (générateur d’entretien) :c’est récompenser ou récupérer l’énergie dissipée

b) l’équation différentielle :
$u_R+u_L+u_C=U_G$
$(r+r’-k)i+L\dfrac{di}{dt}+u_C=0$
c)pour obtenir un Régime périodique :

1-Grandeurs cinématiques

1- vecteur vitesse et accélération

$\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$   $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
$x,y$ et $z$ les équations horaires du mvt   $\overrightarrow{OM}$ vct position

●coordonnées de $\vec a$ dans le repère cartésien
►Mouvement Rectiligne :

►Mouvement dans un plan :

●coordonnées de $\vec a$ dans la base de Frenet
$(M,\vec u,\vec n)$ : repère ; $\vec u$ : tangent (sens du mouvement) ; $\vec n$ : normal centripète

$\vec a=\vec a_n+\vec a_u$   $\vec a=a_n\vec n+a_u\vec u$   $a_T=\dfrac{dv}{dt}$   $a_n=\dfrac{v^2}{r}$
r : le rayon de courbure de la trajectoire

2- Mouvement rect unif varié

●accélération constante $a=C^{te}$
● l’équation de la vitesse : $\dfrac{dv}{dt}=a\ \to\ \boxed{v=at+v_0}$
● l’équation horaire du mouvement : $\dfrac{d^2x}{dt^2}=a\to\ \boxed{x=\dfrac12at^2+v_0t+x_0}$
►exploitation la courbe v en fonction de t :

fonction linéaire : $v=at+v_0$ ; $v_0=0$ vitesse initial
$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{v_2-0}{t_2-0}$ ; $a=\dfrac1{0{,}2}=5m.s^{-1}$   mvt accéléré

fonction affine : $v=at+v_0$ ; $v_0=1m.s^{-1}$ v initial
$a=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{2-1}{0{,}2}=5m.s^{-1}$   mvt accéléré

mvt décéléré : $v=at+v_0$ ; $v_0=4m.s^{-1}$ v initial
$a=\dfrac{1-4}{0{,}6-0}=-5m.s^{-1}<0$
$t_B=0{,}8s$ L’instant d’arrêt

►exploitation Des équations horaires du mvt :
1cas : un solide se déplace de A vers B sans vitesse initial $v_A=0$.

● l’équation de la vitesse : $v_B=at_B+v_A$
● l’équation du mvt : $x_B=\dfrac12at_B^2+v_At_B+x_A$

● si l’instant d’arrivée $t_B$ est donnée :
-la distance $AB=\dfrac12at_B^2$ ; la vitesse $v_B$ : $v_B=at_B$
● si la distance AB est donnée :
-On peut calculer l’instant $t_B$ : $t_B=\sqrt{\dfrac{2AB}{a}}$ ; la vitesse $v_B$ : $v_B=at_B$
● si la vitesse $v_B$ est donnée :
-On peut calculer l’instant $t_B$ : $t_B=\dfrac{v_B}{a}$ ; la distance AB : $AB=\dfrac12at_B^2$

2cas : déplacement avec vitesse initial $v_A\neq0$
Pour déterminer AB ou $v_B$ ?
● l’équation de la vitesse : $v_B=at_B+v_A$
● l’équation du mvt : $AB=x_B-x_A=\dfrac12at_B^2+v_At_B$
$v_B^2=(at_B+v_A)^2=a^2t_B^2+2at_Bv_A+v_A^2$
$v_B^2-v_A^2=2a\left(\dfrac12at_B^2+v_At_B\right)$
donc : $v_B^2-v_A^2=2aAB$ (Rel indpt du temps)

2-Les lois de Newton :

● 1^er loi de Newton (Principe d’inertie)

● 2^eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a$
● 3^eme loi de Newton : $\vec F_{A/B}=-\vec F_{B/A}$

●Coordonnées d’un vecteur :

●Coordonnées du poids $\vec P$ :

Mouvement sur un plan horizontal

$\vec P\begin{vmatrix}P_x=0\\P_y=-mg\end{vmatrix}$

mvt sur un Plan incliné

$P_x=+mg\sin\alpha$ Si le Mvt vers le bas
$P_x=-mg\sin\alpha$ Si le Mvt vers le haut
$P_x=mg\sin\alpha$ ; $P_y=-mg\cos\alpha$

●Coordonnées de la réaction $\vec R$ :

→Contact sans frottement :

$\vec R\begin{vmatrix}R_x=0\\R_y=R\end{vmatrix}$

→Contact avec frottement :

$\vec R=\vec R_N+\vec f$ ; $\vec R\begin{vmatrix}R_x=-f\\R_y=R_N\end{vmatrix}$ ; $R=\sqrt{f^2+R_N^2}$ ; $K=\tan\varphi=f/R_N$
K : Coefficient de frottement ; $\varphi$ : Angle de frottement ; $f$ : force de frottement

Nature du mouvement :

NB :
L’équation différentielle de la vitesse : $\dfrac{dv}{dt}=a$
L’équation différentielle du mouvement : $\dfrac{d^2x}{dt^2}=a$

Exploitation du 2^eme loi de newton :

1-Préciser le système étudié
2-Faire le bilan des forces extérieures
3- représenter les forces
4- écrire la relation vectorielle de la 2ème loi de newton $\sum\vec F=m\vec a$
5- projeter cette relation sur un repère orthonormé lié à un référentiel Galiléen.
NB :un référentiel Galiléen est un repère immobile ou en mvt rectiligne uniforme

1-Chute verticale avec frott :

●Tous corps immergé dans un fluide est soumis à trois forces :
▶ le poids du corps : $\vec P$
▶ la Poussée d’Archimède : $\vec F_A$
▶ la Force de frottement : $\vec f$

L’expression vectorielle :
$\vec P=m.\vec g=m.g.\vec k$   $\vec F_A=-m_f.g.\vec k$   $\vec f=-k.v^n.\vec k$
●Caractéristiques des forces :

avec : $V=V_s$
ρ : La masse volumique du fluide (kg.m⁻³)
V : Le volume du fluide déplacé (m³)
k : est une constante qui dépend de la viscosité du fluide et de la forme du solide. n=1 ou n=2

●L’Équation différentielle du mvt.
La 2^eme loi de Newton : $\vec P+\vec F_A+\vec f=m\vec a$
$P-F_A-f=ma$
$\to mg-\rho.Vg-kv=ma$
$\to g(m-\rho.V)-kv=m\dfrac{dv}{dt}$
$\to g\left(1-\dfrac{\rho.V}{m}\right)-\dfrac kmv=\dfrac{dv}{dt}$
on pose : $A=g\left(1-\dfrac{\rho.V}{m}\right)$ et $B=\dfrac km$
donc : $\to\ A-Bv=\dfrac{dv}{dt}$

● grandeurs caracté du mvt $a_0$ $V_{lim}$ et τ :
1^erMéth : à partir de l eqt diff :
à t=0 → $v_0=0$ alors $A-Bv_0=a_0\ \to\ a_0=A$
pour le Régime permanent : $v_{lim}$=Cste
$\dfrac{dv_{lim}}{dt}=0\ \to\ A-Bv_{lim}=0\to v_{lim}=\dfrac AB$

2^emeMéth : à partir d’une courbe :

▶Le temps caractéristique du mvt τ :
$a_0=\dfrac{v_{lim}}{\tau}\ \to\ \tau=\dfrac{v_{lim}}{a_0}$ (graphiquement)
Remque : cas d’une courbe décroissante :

la durée du régime initial : $\Delta t=5\tau$ si n=1

●méthode d’EULER
▶pour calculer l’accélération $a_i$ à la date $t_i$
$a_i=\dfrac{dv_i}{dt}\ \to\ a_i=A-Bv_i$
exemple : $a_0=A-Bv_0$ ; $a_1=A-Bv_1$ ; $a_2=A-Bv_2$
▶pour calculer la vitesse $V_{i+1}$ à la date $t_{i+1}$
$a_i=\dfrac{v_{i+1}-v_i}{\Delta t}$   $\Delta t$ : le pas du calcul. $\Delta t=t_{i+1}-t_i$
$v_{i+1}=a_i.\Delta t+v_i$
exemple : $v_1=a_0.\Delta t+v_0$ ; $v_2=a_1.\Delta t+v_1$

Cas particulier :courbe de a en fonct de v

Fonction affine   $a=B’+A’v$
$B’=a_0=10m.s^{-2}$ ; $v_{lim}=12m.s^{-1}$
$A’=\dfrac{a_2-a_1}{v_2-v_1}=\dfrac{0-10}{12-0}$
d’après l’équation différentielle : $A-Bv=\dfrac{dv}{dt}$
donc : $A’=-B$ et $B’=A$

Exploitation numérique d’une équation diff :

$v_{n+1}=7.10^{-2}v_n^2+v_n+1{,}96$ ①
on a : $v_{n+1}=a_n.\Delta t+v_n$ et $a_n=A-Bv_n^2$
on remplace $a_n$ dans $v_{n+1}$ :
$v_{n+1}=(A-Bv_n^2)\Delta t+v_n$
$v_{n+1}=-Bv_n^2\Delta t+A\Delta t+v_n$ ②
par anal entre ① et ② : $\begin{cases}-B\Delta t=7.10^{-2}\\A.\Delta t=1{,}96\end{cases}$

2- Chute verticale libre :

Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
1cas : sans vitesse initial vers le bas :

$Z_0=0$ et $v_0=0$ ; La 2^eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a\to\vec P=m\vec a$ ; $m\vec g=m\vec a\to\vec a=\vec g$ ; La projection sur Oz : $a=g$
L’accélération est indépendante de la masse

-l’éqt diff de la v : $\dfrac{dv}{dt}=g$
-l’éqt diffé du mvt : $\dfrac{d^2x}{dt^2}=g$
● l’éqt horaire de la vitesse : $v=gt+v_0\to\ \boxed{v=gt}$ ①
● l’équation du mouvement : $z=\dfrac12gt^2+v_0t+z_0\to\ \boxed{z=\dfrac12gt^2}$ ②
●pour dét tH l’instant d’arrivée au sol :
à tH → $Z_H=H$
② $H=\dfrac12gt_H^2\ \to\ t_H=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$
●la vitesse d’arrivée au sol vH: $v_H=gt_H$

2cas : avec vitesse initial vers le haut :

$Z_0=0$ et $v_{0z}=v_0$ ; La 2^eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a\to\vec P=m\vec a$ ; $m\vec g=m\vec a\to\vec a=\vec g$ ; La projection sur Oz : $a=-g$
l’éqt diff de la v : $\dfrac{dv}{dt}=-g$
l’équat différt du mvt : $\dfrac{d^2z}{dt^2}=-g$
● l’équation de la vitesse : $v=at+v_0\to\ \boxed{v=-gt+v_0}$ ①
● l’équation du mouvement : $\boxed{z=-\dfrac12gt^2+v_0t}$ ②
●La flèche : l’altitude H la plus élevée atteinte par (S)
●l’instant d’arrivée au point H :
au point H → $v_H=0$
① → $-gt_H+v_0=0\ \to\ t_H=\dfrac{v_0}{g}$
on remplace $t_H$ en ②
$Z_H=-\dfrac12g\left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2+v_0\left(\dfrac{v_0}{g}\right)\ \to\ Z_H=\dfrac{v_0^2}{2g}$

1-Chute libre verticale :

Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.
1cas : sans vitesse initial vers le bas

L’accélération est indépendante de la masse
L’équation différentielle de la v : $\dfrac{dv}{dt}=g$
l’équation différentielle du mvt : $\dfrac{d^2z}{dt^2}=g$
● l’équation de la vitesse : $v=at+v_0\to\ \boxed{v=gt}$ ①
● l’équation du mouvement : $z=\dfrac12at^2+v_0t+z_0\to\ \boxed{z=\dfrac12gt^2}$ ②
●détermine $t_H$ l’instant pour atteindre le sol à $t_H\to Z_H=H$
② $H=\dfrac12gt_H^2\ \to\ t_H=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$
●la vitesse de l’arrivée au sol $v_H$ : on remplace $t_H$ en ①   $v_H=gt_H$

2cas : avec vitesse initial vers le haut

l’équation différentielle de la v : $\dfrac{dv}{dt}=-g$
L’équation différentielle du mvt : $\dfrac{d^2z}{dt^2}=-g$

● l’équation de la vitesse : $v=at+v_0\to\ \boxed{v=-gt+v_0}$ ①
● l’équation du mouvement : $\boxed{z=-\dfrac12gt^2+v_0t}$ ②
●La flèche : l’altitude H la plus élevée atteinte par (S)
●l’instant d’arrivée au point H : au point H → $v_H=0$
① → $-gt_H+v_0=0\ \to\ t_H=\dfrac{v_0}{g}$
on remplace $t_H$ dans ② : $z_H=-\dfrac12g\left(\dfrac{v_0}{g}\right)^2+v_0\left(\dfrac{v_0}{g}\right)\ \to\ z_H=\dfrac{v_0^2}{2g}$

2-mouvement d’un projectile :

●Les conditions initiales : $\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=0\end{vmatrix}$   $\begin{vmatrix}v_{0x}=v_0\cos\alpha\\v_{0y}=v_0\sin\alpha\end{vmatrix}$
d’après la 2^eme loi de Newton : $\sum\vec F=m\vec a$
$\vec P=m\vec a\ \to\ \vec a=\vec g$
On projete la relation :
$OX/:\ \begin{vmatrix}a_x=0\end{vmatrix}$ (M.R.U)   $OY/:\ \begin{vmatrix}a_y=-g\end{vmatrix}$ (M.R.U.V)
●les équations différentielles de la vitesse :

●les équations différentielles du mvt :

● les équations horaires de la vitesse :

● les équations horaires du mvt :

●Équation de la trajectoire y=f(x)

On élimine t entre x et y :
① → $t=\dfrac{x}{v_0.\cos\alpha}$ on remplace dans ②

●La flèche : F (ou le sommée)

au point F : $v_{Fy}=0$
Déterminons $t_F$ : $-gt_F+v_0\sin\alpha=0\ \Rightarrow\ t_F=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$
Les coordonnées de la flèche (F) ($x_F,y_F$) : On remplace $t_F$ dans ① et ②

avec : $\sin2\alpha=2\sin\alpha.\cos\alpha$

●La portée : OP =x_P

au point P : $y_P=0$
② $-\dfrac12gt_P^2+v_0.\sin\alpha.t_P=0\ \Rightarrow\ t_P=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$
on remplace $t_P$ dans ① : $OP=x_P=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$
La portée est maximale si $\alpha=\dfrac\pi4$ ($\sin2\alpha=1$)

Projectile horizontale : $\vec v_0$ horiz

● les équations horaires de la vitesse :

● les équations horaires du mvt :

●Équation de la trajectoire y=f(x)

éliminons t entre x et y :
① → $t=\dfrac{x}{v_0}$   ② → $y=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+h$
●$t_I$ l’instant d’arrivé de (S) au sol :
au point I : $y_I=0\ \to\ t_I=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
$v_{Ix}=v_0$ et $v_{Iy}=-gt_I$

●Les conditions initiales : $\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=h\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}v_{0x}=v_0\cos\alpha\\v_{0y}=v_0\sin\alpha\end{vmatrix}$   $\begin{vmatrix}a_x=0\\a_y=-g\end{vmatrix}$

●Les conditions initiales : $\begin{vmatrix}x_0=0\\y_0=0\end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix}v_{Bx}=v_B\cos\alpha\\v_{By}=v_B\sin\alpha\end{vmatrix}$   $\begin{vmatrix}a_x=0\\a_y=-g\end{vmatrix}$
La vitesse du proj a un instant donne :
$v_I=\sqrt{v_{Ix}^2+v_{Iy}^2}$ ; $v_x=v_0\cos\alpha$ ; $v_y=-gt+v_0\sin\alpha$