📐 3.2 Écart angulaire (الفرق الزاوي)

θ = λ/a · Activité expérimentale · Diffraction par une fente

Écart angulaire θ = λ/a | Activité expérimentale diffraction

📐 3.2 Écart angulaire (الفرق الزاوي)

θ = λ/a · Activité expérimentale · Diffraction par une fente
📐 Définition de l’écart angulaire θ تعريف الفرق الزاوي

On appelle écart angulaire \( \theta \) l’angle, exprimé en radian, entre la droite passant par le milieu de la tache centrale et celle passant par le milieu de la première zone d’extinction (premier minimum de diffraction).

LASER a ÉCRAN θ L/2 Distance D

📌 Fente de largeur \(a\), écran à distance \(D\), tache centrale de largeur \(L\)

📊 Activité 2 – Détermination de θ = λ/a النشاط التجريبي 2
1️⃣ Déterminer la relation entre les paramètres \(L\) et \(D\).

On a : \(\displaystyle \tan \theta = \frac{L/2}{D} = \frac{L}{2D}\)

Puisque \(\theta\) est petit (\(\theta\) en radian) alors \(\tan \theta \approx \theta\), donc

① \(\displaystyle \theta = \frac{L}{2D}\)
2️⃣ Expérience : laser \(\lambda = 633\ \text{nm}\), \(D = 1,5\ \text{m}\) fixe.

On fait varier la largeur \(a\) de la fente et on mesure la largeur \(L\) de la tache centrale.

\(a\ (\mu m)\)100120200250300
\(L\ (mm)\)19,015,89,57,66,3
\(\theta\ (10^{-3}\ rad)\)
\(\left(\theta = \frac{L}{2D},\ D=1,5m\right)\)		 6,33 5,27 3,17 2,53 2,10
\(\frac{1}{a}\ (10^{3}\ m^{-1})\)10,08,335,04,03,33

✔️ Tableau complété : θ = L/(2D) avec D = 1,5 m → θ(rad) = (L×10⁻³)/(2×1,5) = L/3000.
Exemple : L = 19 mm → θ = 19/3000 = 6,33×10⁻³ rad.

3️⃣ Tracer \(\theta\) en fonction de \(\frac{1}{a}\) et déduire la relation entre \(\theta\) et \(\lambda\).
1/a (10³ m⁻¹) θ (10⁻³ rad) 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 θ = k × (1/a)

📈 θ en fonction de 1/a : points alignés passant par l’origine → proportionnalité.

D’après la courbe, on constate que \(\theta\) est proportionnelle à 1/a :

\(\theta = k \cdot \frac{1}{a}\)

Calcul du coefficient directeur \(k\) :

\[ k = \frac{\Delta \theta}{\Delta (1/a)} = \frac{(6,33 – 2,53) \times 10^{-3}}{(10 – 4) \times 10^{3}} = \frac{3,80 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{3}} = 633 \times 10^{-9}\ \text{m} = 633\ \text{nm} \]

La valeur expérimentale de \(k\) correspond à \(\lambda = 633\ \text{nm}\) (longueur d’onde du laser).

Donc \(k = \lambda\) et par conséquent :

② \(\displaystyle \theta = \frac{\lambda}{a}\)
4️⃣ Montrer que \(L = \dfrac{2\lambda D}{a}\).

D’après les relations ① \(\theta = \dfrac{L}{2D}\) et ② \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\), on a :

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{L}{2D} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2\lambda D}{a} \]

✅ Relation fondamentale : largeur de la tache centrale de diffraction.

📌 Synthèse – Écart angulaire & diffraction خلاصة
📐 Écart angulaire
\(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\)

λ : longueur d’onde (m)
a : largeur de la fente (m)

🎯 Largeur tache centrale
\(L = \dfrac{2\lambda D}{a}\)

D : distance fente-écran (m)

⚠️ Condition de diffraction
\(a \leq \lambda\)

Diffraction significative si a ~ λ ou plus petit.

💡 Remarque

L’écart angulaire θ ne dépend pas de la distance D, uniquement de λ et a.

💡 Conclusion : La mesure de l’écart angulaire θ permet de déterminer la longueur d’onde λ du laser. La relation \(L = 2\lambda D/a\) est vérifiée expérimentalement.
🔍 Vérification – Exemple numérique تطبيق عددي

Vérification à partir du tableau :

Pour \(a = 100\ \mu\text{m} = 100 \times 10^{-6}\ \text{m}\), \(\lambda = 633 \times 10^{-9}\ \text{m}\), \(D = 1,5\ \text{m}\) :
\[ L_{th} = \frac{2 \times 633 \times 10^{-9} \times 1,5}{100 \times 10^{-6}} = \frac{1,899 \times 10^{-6}}{10^{-4}} = 0,01899\ \text{m} \approx 19,0\ \text{mm} \] ✔️ Résultat conforme à la mesure expérimentale (19,0 mm).
🔴 λ grande (rouge)

θ grand → tache centrale plus large

🔵 λ petite (bleue)

θ petit → tache centrale plus étroite

🌟 Écart angulaire θ = λ/a · Largeur tache centrale L = 2λD/a · La diffraction par une fente confirme la nature ondulatoire de la lumière.
📘 Activité expérimentale : tracé θ = f(1/a) donne une droite de pente λ.
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