Exercice : Détermination de la longueur d’onde d’un laser

Longueur d’onde d’un laser

Un laser émet une lumière monochromatique de longueur d’onde $\lambda$ inconnue. On l’envoie sur des fentes verticales de largeurs $a$ différentes. L’écran est placé à $D = 3{,}00\ \text{m}$ des fentes. Pour chaque fente, on mesure la largeur $L$ de la tache centrale.

$a$ (µm)406080100120
$L$ (cm)9,56,34,73,83,2
$\theta$ (rad)
$1/a$ ($\times10^{4}\ \text{m}^{-1}$)

Questions :Exercice : Détermination de la longueur d’onde d’un laser

  1. Quel phénomène observe-t-on ? Que devient L quand a diminue ?
  2. Exprimer θ en fonction de L et D. Recopier et compléter le tableau.
  3. Tracer la courbe θ = f(1/a). Échelle : 1 cm pour 0,2 × 10⁴ m⁻¹ et 1 cm pour 2 × 10⁻³ rad.
  4. Quelle est la nature de la courbe ? En déduire la relation entre θ et 1/a.
  5. Déterminer le coefficient directeur de la droite. Que représente-t-il ?
  6. Déduire la valeur de λ en nm.
  7. Le constructeur indique λ = 633 nm. Calculer l’écart relatif.
  8. On remplace la fente par un fil fin. La tache centrale mesure L’= 5,1 cm. Calculer le diamètre d du fil.

Question 1

Quel phénomène observe-t-on ? Que devient $L$ quand $a$ diminue ?

On observe le phénomène de diffraction de la lumière : la tache centrale est large, bordée de taches latérales moins lumineuses, et étalée perpendiculairement à la fente. Il met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière.
Quand $a$ diminue, la largeur $L$ de la tache centrale augmente.

Question 2

Exprimer $\theta$ en fonction de $L$ et $D$. Recopier et compléter le tableau.

Pour $\theta$ petit, $\tan\theta \approx \theta$ : $$\theta = \frac{L/2}{D} \;\Longrightarrow\; \boxed{\theta = \frac{L}{2D}}$$ Exemple ($a = 40\ \mu\text{m}$) : $\theta = \dfrac{9{,}5\times10^{-2}}{2\times3{,}00} = 1{,}58\times10^{-2}\ \text{rad}$ et $\dfrac1a = \dfrac{1}{40\times10^{-6}} = 2{,}5\times10^{4}\ \text{m}^{-1}$.
$a$ (µm)406080100120
$L$ (cm)9,56,34,73,83,2
$\theta$ ($\times10^{-3}$ rad)15,8310,507,836,335,33
$1/a$ ($\times10^{4}\ \text{m}^{-1}$)2,501,671,251,000,83

Question 3

Tracer la courbe $\theta = f(1/a)$. Échelle : 1 cm pour $0{,}2\times10^{4}\ \text{m}^{-1}$ et 1 cm pour $2\times10^{-3}$ rad.

Question 4

Quelle est la nature de la courbe ? En déduire la relation entre $\theta$ et $1/a$.

Les points sont alignés sur une droite passant par l’origine : $\theta$ est proportionnelle à $1/a$ : $$\theta = k\cdot\frac{1}{a}$$

Question 5

Déterminer le coefficient directeur de la droite. Que représente-t-il ?

Avec $A(0{,}83\times10^{4}\,;\,5{,}33\times10^{-3})$ et $B(2{,}50\times10^{4}\,;\,15{,}83\times10^{-3})$ : $$k = \frac{\Delta\theta}{\Delta(1/a)} = \frac{(15{,}83-5{,}33)\times10^{-3}}{(2{,}50-0{,}83)\times10^{4}} \approx 6{,}3\times10^{-7}\ \text{m}$$ Le coefficient directeur a la dimension d’une longueur : il représente la longueur d’onde $\lambda$, car $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$.

Question 6

Déduire la valeur de $\lambda$ en nm.

$$\lambda = k = 6{,}3\times10^{-7}\ \text{m} = \boxed{630\ \text{nm}}$$

Question 7

Le constructeur indique $\lambda = 633$ nm. Calculer l’écart relatif.

$$\frac{|\lambda_{\text{exp}}-\lambda_{\text{constr}}|}{\lambda_{\text{constr}}} = \frac{|630-633|}{633} \approx 4{,}7\times10^{-3} = \boxed{0{,}47\ \%}$$ L’écart est très faible : la mesure est en bon accord avec la valeur du constructeur.

Question 8

On remplace la fente par un fil fin. La tache centrale mesure $L’ = 5{,}1$ cm. Calculer le diamètre $d$ du fil.

Un fil de diamètre $d$ produit la même figure de diffraction qu’une fente de largeur $a = d$ (principe de Babinet) : $$\theta’ = \frac{L’}{2D} = \frac{5{,}1\times10^{-2}}{2\times3{,}00} = 8{,}5\times10^{-3}\ \text{rad}$$ $$d = \frac{\lambda}{\theta’} = \frac{630\times10^{-9}}{8{,}5\times10^{-3}} \approx 7{,}4\times10^{-5}\ \text{m} = \boxed{74\ \mu\text{m}}$$

📚 D'autres cours : 03:Propagation d’une onde lumineuse 1+4h