Exercice : Réfraction et dispersion de la lumière sur un prisme

Réfraction et dispersion sur un prisme

Exercice : Réfraction et dispersion de la lumière sur un prisme

Bac Maroc

Un faisceau lumineux blanc, issu d’une source S, arrive sur une face plane d’un prisme en verre d’indice de réfraction n = 1,50. Le prisme a la forme d’un triangle équilatéral d’angle au sommet A = 60°. On observe, après décomposition, trois rayons lumineux colorés (bleu, vert et rouge) émergents de la seconde face du prisme, comme le montre la figure ci-contre.

On donne :

  • Indices de réfraction du verre pour les trois couleurs : nB = 1,53 nV = 1,50 nR = 1,48  (bleu, vert, rouge).
  • L’angle d’incidence du faisceau blanc sur la première face est i = 30°.
  • L’air a un indice nair = 1,00.
A = 60° Prisme en verre S Faisceau blanc i = 30° Bleu Vert Rouge
  1. Expliquer brièvement pourquoi la lumière blanche se décompose lorsqu’elle traverse un prisme.
  2. Calculer l’angle de réfraction r pour chacun des trois rayons (bleu, vert et rouge) à l’entrée du prisme.
  3. Déterminer l’angle d’émergence e pour chaque couleur à la sortie du prisme.
  4. Montrer que les rayons émergents sont déviés vers la base du prisme.
  5. Calculer la déviation minimale δmin pour chaque couleur.
  6. Comparer les déviations des trois couleurs. Que peut-on en conclure sur la dispersion de la lumière dans le prisme ?
  7. On place un écran à la sortie du prisme. Décrire et justifier l’aspect de la tache lumineuse observée sur l’écran.

Données :  sin 30° = 0,50  ;  sin 60° = 0,87

Solution : prisme

Solution : prisme

Solution : Réfraction et dispersion sur un prisme

Bac Maroc
Données : $A=60^\circ$ ; $i=30^\circ$ ; $n_{air}=1{,}00$ ; $n_B=1{,}53$, $n_V=1{,}50$, $n_R=1{,}48$ ; $\sin30^\circ=0{,}50$ ; $\sin60^\circ=0{,}87$.

Question 1

Expliquer brièvement pourquoi la lumière blanche se décompose lorsqu’elle traverse un prisme.

La lumière blanche est une superposition de radiations monochromatiques de longueurs d’onde différentes. Le verre est un milieu dispersif : son indice $n$ dépend de la longueur d’onde (par exemple $n=a+\dfrac{b}{\lambda^2}$). D’après la loi de Snell-Descartes, chaque radiation est donc réfractée avec un angle différent : les couleurs se séparent.

Question 2

Calculer l’angle de réfraction $r$ pour chacun des trois rayons à l’entrée du prisme.

Loi de Snell-Descartes à l’entrée : $n_{air}\sin i = n\sin r \Rightarrow \boxed{\sin r=\dfrac{\sin i}{n}}$ $$\text{Bleu : }\sin r_B=\frac{0{,}50}{1{,}53}=0{,}327\Rightarrow r_B\approx19{,}1^\circ$$ $$\text{Vert : }\sin r_V=\frac{0{,}50}{1{,}50}=0{,}333\Rightarrow r_V\approx19{,}5^\circ$$ $$\text{Rouge : }\sin r_R=\frac{0{,}50}{1{,}48}=0{,}338\Rightarrow r_R\approx19{,}7^\circ$$

Question 3

Déterminer l’angle d’émergence $e$ pour chaque couleur à la sortie du prisme.

Dans le prisme, $r+r’=A$, donc $r’=A-r$. À la sortie : $n\sin r’=\sin e$. $$\text{Vert : }r’_V=60-19{,}5=40{,}5^\circ,\quad \sin e_V=1{,}50\times\sin40{,}5^\circ=0{,}975\Rightarrow \boxed{e_V\approx77^\circ}$$ $$\text{Rouge : }r’_R=60-19{,}7=40{,}3^\circ,\quad \sin e_R=1{,}48\times\sin40{,}3^\circ=0{,}956\Rightarrow \boxed{e_R\approx73^\circ}$$ $$\text{Bleu : }r’_B=60-19{,}1=40{,}9^\circ,\quad 1{,}53\times\sin40{,}9^\circ=1{,}002$$
Remarque sur le bleu. Avec les données du sujet, on trouve $n_B\sin r’_B\approx1{,}002>1$ : l’angle $r’_B=40{,}9^\circ$ dépasse tout juste l’angle limite $\arcsin(1/1{,}53)=40{,}8^\circ$. Rigoureusement, le rayon bleu subirait une réflexion totale sur la seconde face (cas limite : $e_B\approx90^\circ$, émergence rasante). Le sujet et sa figure supposent que le bleu émerge ; la valeur est ici à la limite, à cause des arrondis. Les conclusions des questions 4 à 7 ne changent pas.

Question 4

Montrer que les rayons émergents sont déviés vers la base du prisme.

Comme $n>n_{air}$, le rayon se rapproche de la normale à l’entrée ($rr’$). La déviation totale est $$D=(i-r)+(e-r’)=i+e-A>0 .$$ Elle est positive, donc le rayon est dévié vers la base du prisme (côté le plus épais), jamais vers le sommet.
Application : $D_V=30+77-60\approx47^\circ$ et $D_R=30+73-60\approx43^\circ$.

Question 5

Calculer la déviation minimale $\delta_{min}$ pour chaque couleur.

Au minimum de déviation : $n=\dfrac{\sin\frac{A+\delta_{min}}{2}}{\sin\frac{A}{2}}\Rightarrow \delta_{min}=2\arcsin\!\big(n\sin30^\circ\big)-A$ $$\text{Bleu : }\sin\tfrac{A+\delta}{2}=1{,}53\times0{,}5=0{,}765\Rightarrow \tfrac{A+\delta}{2}=49{,}9^\circ\Rightarrow \boxed{\delta_{min,B}\approx39{,}8^\circ}$$ $$\text{Vert : }1{,}50\times0{,}5=0{,}750\Rightarrow 48{,}6^\circ\Rightarrow \boxed{\delta_{min,V}\approx37{,}2^\circ}$$ $$\text{Rouge : }1{,}48\times0{,}5=0{,}740\Rightarrow 47{,}7^\circ\Rightarrow \boxed{\delta_{min,R}\approx35{,}5^\circ}$$

Question 6

Comparer les déviations des trois couleurs. Que peut-on en conclure sur la dispersion ?

$$\delta_{min,B}>\delta_{min,V}>\delta_{min,R}\quad(\text{de même }D_V>D_R)$$ Plus l’indice est grand, plus la déviation est grande : le bleu ($n_B=1{,}53$) est plus dévié que le rouge ($n_R=1{,}48$). L’écart entre bleu et rouge vaut environ $4{,}3^\circ$.
Conclusion : le verre est un milieu dispersif ($n$ dépend de $\lambda$, $n$ diminue quand $\lambda$ augmente) ; le prisme disperse la lumière blanche, et le rouge est la couleur la moins déviée.

Question 7

On place un écran à la sortie du prisme. Décrire et justifier l’aspect de la tache lumineuse.

On observe non pas trois points mais une bande colorée continue : le spectre de la lumière blanche (rouge, orange, jaune, vert, bleu, violet). En effet, la lumière blanche contient une infinité de radiations de longueurs d’onde comprises entre environ 400 nm et 800 nm, chacune avec son indice, donc sa propre déviation.
Le rouge, le moins dévié, se trouve du côté du sommet ; le violet, le plus dévié, du côté de la base.

Tableau récapitulatif

Couleur$n$$r$$r’=A-r$$n\sin r’$$e$$D=i+e-A$$\delta_{min}$
Bleu1,5319,1°40,9°1,002limite (≈ 90°)—39,8°
Vert1,5019,5°40,5°0,97577°47°37,2°
Rouge1,4819,7°40,3°0,95673°43°35,5°
À propos de la figure. Sur la figure du sujet, le rayon rouge est le plus dévié vers le bas et le bleu le moins. C’est l’inverse de ce que donne le calcul : le bleu doit être le plus dévié.

📚 D'autres cours : 03:Propagation d’une onde lumineuse 1+4h