Ondes mécaniques progressives

Onde mécanique progressive : phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu matériel élastique. Elle transporte de l’énergie sans transporter de matière.

• Transversale : direction de propagation perpendiculaire à celle de la perturbation (corde, vagues).
• Longitudinale : directions parallèles (ressort, onde sonore).
• 1D (corde, ressort), 2D (surface de l’eau), 3D (son).

Célérité et retard

$d$ en m, $\Delta t$ en s, $v$ en $\mathrm{m.s^{-1}}$. La célérité dépend de la nature du milieu (élasticité, rigidité, inertie, température). Les ondes mécaniques ne se propagent pas dans le vide.

Exemple (son dans l’air, sensibilité horizontale $2\ \mathrm{ms/div}$, $d=3{,}4$ m) :

Ondes mécaniques progressives périodiques

Onde périodique : la perturbation est périodique. Onde sinusoïdale : la perturbation est sinusoïdale.

• Longueur d’onde $\lambda$ (m) : plus petite distance entre deux points vibrant en phase.
• Période $T$ (s) : durée de répétition du phénomène.
• Fréquence $N=\dfrac1T$ en hertz (Hz).

Diffraction

Modification de la direction de propagation d’une onde rencontrant une ouverture de largeur $a<\lambda$. L'onde diffractée a même fréquence $N$ et même $\lambda$ que l'onde incidente.

Milieu dispersif : milieu où la célérité dépend de la fréquence de la source.

Comparaison des mouvements de deux points M et N

Stroboscope

$T_e$ : période des éclairs, $N_e$ : fréquence des éclairs.

• Immobilité apparente : $T_e=k.T$ ou $N=k.N_e$.
• $T_e>T$ (ou $N>N_e$) : mouvement ralenti dans le sens réel.
• $T_e

Propagation d’une onde lumineuse

La lumière est une onde électromagnétique qui se propage dans le vide et dans les milieux transparents.

Diffraction de la lumière

$\theta$ : écart angulaire (rad) entre le centre de la tache centrale et la première extinction ; $a$ : largeur de la fente ; condition : $a<\lambda$. À démontrer : $L=\dfrac{2\lambda.D}{a}$.

Dispersion de la lumière

Dispersion : séparation des radiations de couleurs différentes. Lumière polychromatique : composée de plusieurs radiations (ex. lumière blanche), dispersée par un prisme.

Relations du prisme :

Décroissance radioactive

Noyau $^A_ZX$ : $Z$ protons et $N$ neutrons, $A=Z+N$ nucléons. Isotopes : même $Z$, $N$ différent (ex. $^{12}_6C$, $^{13}_6C$, $^{14}_6C$).

Radioactivité : désintégration spontanée d’un noyau instable (noyau père) en un noyau plus stable (noyau fils) avec émission d’une particule.

Lois de Soddy (conservation)

• Radioactivité $\alpha$ : $^A_ZX\to{}^{A-4}_{Z-2}Y+{}^4_2He$
• Radioactivité $\beta^+$ : $^A_ZX\to{}^{A}_{Z-1}Y+{}^0_1e$
• Radioactivité $\beta^-$ : $^A_ZX\to{}^{A}_{Z+1}Y+{}^{\,0}_{-1}e$
• Émission $\gamma$ : $^A_ZX^*\to{}^A_ZX+\gamma$

Loi de décroissance

$\tau$ : constante de temps (s) ; $\lambda$ : constante radioactive ($\mathrm{s^{-1}}$) ; $t_{1/2}$ : demi-vie, durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés.

Activité : nombre de désintégrations par seconde, en becquerel (Bq) : 1 Bq = 1 désintégration par seconde. Famille radioactive : ensemble de noyaux issus de désintégrations successives d’un noyau initial.

Noyaux – Masse et énergie

Relation d’Einstein : tout système de masse $m$ au repos possède une énergie de masse :

Défaut de masse : différence entre la somme des masses des nucléons et la masse du noyau :

Énergie de liaison $E_\ell>0$ : énergie à fournir à un noyau au repos pour le dissocier en ses nucléons au repos.

Plus $\xi$ est grande, plus le noyau est stable. Fission : un noyau lourd éclate en deux noyaux légers sous l’impact d’un neutron. Fusion : deux noyaux légers s’unissent pour former un noyau plus lourd. Courbe d’Aston : $-E_\ell/A=f(A)$.

Bilan énergétique

$\Delta E<0$ : réaction exoénergétique (libère de l'énergie) ; $\Delta E>0$ : réaction endoénergétique (absorbe de l’énergie).

Dipôle RC

Condensateur : dipôle formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant.

$C$ en farad (F), $q$ en coulomb (C), $E_e$ en joule (J).

Dipôle RC : condensateur $C$ en série avec un conducteur ohmique $R$. Constante de temps :

Interrupteur en position 1 : charge

Régime permanent : $u_C=E$ et $i=0$.

Interrupteur en position 2 : décharge

Régime permanent : $u_C=0$ et $i=0$. Détermination de $\tau$ : par la tangente à l’origine, ou à $0{,}63E$ (charge) / $0{,}37E$ (décharge).

Dipôle RL

Bobine : fil conducteur recouvert d’un isolant, enroulé sur un support isolant. Tension en convention récepteur :

$r$ : résistance (Ω), $L$ : inductance (H). Bobine idéale ($r=0$) : $u_L=L\dfrac{di}{dt}$. En régime permanent, $i=\text{cte}$ donc $u_L=r.i$ : la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.

Établissement du courant (fermeture de K)

Annulation du courant (ouverture de K)

La diode D protège le circuit contre les surtensions à l’ouverture.

Oscillations libres dans un circuit RLC série

Oscillations libres : le circuit n’est alimenté par aucun générateur ; l’énergie initiale est stockée dans le condensateur.

• $R=0$ : régime périodique (circuit LC idéal).
• $R$ faible : régime pseudo-périodique, $T\approx T_0$.
• $R$ grande : régime apériodique.

Circuit LC idéal :

Dans les régimes pseudo-périodique et apériodique, l’énergie totale diminue (effet Joule). Entretien des oscillations : un dispositif fournit une tension proportionnelle à $i$ (résistance négative) compensant les pertes.

Oscillations forcées dans un circuit RLC série (SM)

Un générateur GBF (excitateur) impose au circuit RLC (résonateur) sa fréquence $N$. Résonance à $N=N_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$.

À la résonance : $LC\omega_0^2=1$, $Z=R$, $\varphi=0$, intensité efficace maximale.

Bande passante à $-3$ dB : $I\ge\dfrac{I_0}{\sqrt2}$. $Q$ : facteur de qualité.

Ondes électromagnétiques – Modulation d’amplitude

Les ondes électromagnétiques se propagent dans un milieu homogène et isotrope en ligne droite, et dans le vide à la célérité de la lumière :

Transmission d’informations : par une onde porteuse (haute fréquence $f_P$) ; le signal à transmettre a une basse fréquence $f_S$.

Modulation d’amplitude

• Bonne modulation : $m<1$ et $f_P\gg f_S$.
• Démodulation : détection d’enveloppe (diode D + circuit $R_1C_1$ avec $T_P\ll\tau=R_1C_1\ll T_S$), puis suppression de la composante continue $U_0$ (filtre $C_2R^{\prime}$ passe-haut).
• Sélection d’une station : $f_P=f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$ (circuit d’accord LC).

Lois de Newton

Base de Frenet

$\rho$ : rayon de courbure (m) ; pour un cercle, $\rho=R$.

Les trois lois

• 1re loi (inertie) : dans un référentiel galiléen, $\sum\vec F_{ext}=\vec0\iff\vec v_G=\overrightarrow{cte}$.
• 2e loi : $\sum\vec F_{ext}=m\vec a_G=m\dfrac{d\vec v_G}{dt}$.
• 3e loi (actions réciproques) : $\vec F_{A/B}=-\vec F_{B/A}$.

Mouvement rectiligne uniformément varié ($\vec a_G=\overrightarrow{cte}$) : $v=a.t+v_0$ et $x=\dfrac12a.t^2+v_0t+x_0$.

Chute verticale d’un solide

Champ de pesanteur : $\vec P=m\vec g$. Il varie avec l’altitude : $g_h=\dfrac{G.M}{(R+h)^2}$. Uniforme si $\vec g$ est identique en tout point.

Chute verticale avec frottements (SP, SM)

Bille (masse $m$, volume $V$) dans un fluide de masse volumique $\rho_f$. Forces : poids $\vec P=m\vec g$, poussée d’Archimède $\vec F=-\rho_fV\vec g=-m_f\vec g$, frottement fluide $\vec f=-k.v_G^n\vec k$ ($n=1$ ou $2$).

Méthode d’Euler : $a_i=A-B.v_i^n$ et $v_{i+1}=v_i+a_i.\Delta t$ ($\Delta t$ : pas de calcul). Régime initial (transitoire) puis régime permanent ($v=v_{lim}$).

Chute libre

Le solide n’est soumis qu’à son poids : $\vec a_G=\vec g$.

Mouvement rectiligne uniformément varié, $a_G=g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.

Mouvements plans

Projectile dans un champ de pesanteur uniforme

Deuxième loi de Newton : $\vec a_G=\vec g$. Projection (Ox, Oy), vitesse initiale $v_0$ faisant l’angle $\alpha$ avec l’horizontale :

Mouvement rectiligne uniforme suivant Ox ; rectiligne uniformément varié suivant Oy ; trajectoire parabolique.

Particule chargée dans un champ électrique uniforme (SM)

$\vec v_0\parallel\vec E$ : mouvement rectiligne uniformément varié. $\vec v_0\perp\vec E$ : $x=v_0t$, $y=-\dfrac{qE}{2m}t^2$, soit $y=-\dfrac{qE}{2mv_0^2}x^2$ (arc de parabole). Déviation électrique : $D_e=K.U$.

Particule chargée dans un champ magnétique uniforme (SP, SM)

La force de Lorentz ne travaille pas : $E_c=\text{cte}$, donc $v=\text{cte}$. Si $\vec v_0\perp\vec B$ : mouvement circulaire uniforme de rayon :

Satellites et planètes

Référentiel adapté : héliocentrique (planètes) ; géocentrique (satellites de la Terre).

Lois de Kepler

• 1re loi : dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil occupe un foyer.
• 2e loi (aires) : le segment $[SP]$ balaie des aires égales pendant des durées égales ($\mathcal A_1=\mathcal A_2$).
• 3e loi : $\dfrac{T^2}{a^3}=k$ ($a$ : demi-grand axe).

Gravitation universelle

Mouvement circulaire uniforme d’une planète

Satellite artificiel de la Terre

On remplace $m_S$ par $m_T$ ($r=R_T+h$) :

Un satellite géostationnaire est immobile par rapport à un point de la Terre (orbite équatoriale, même période que la Terre).

Rotation d’un solide autour d’un axe fixe

Rotation uniforme ($\ddot\theta=0$) : $\theta=\dot\theta.t+\theta_0$, $a=a_N=\dfrac{v^2}{R}=R\dot\theta^2$.

Rotation uniformément variée ($\ddot\theta=\text{cte}$) : $\dot\theta=\ddot\theta.t+\dot\theta_0$ et $\theta=\dfrac12\ddot\theta.t^2+\dot\theta_0t+\theta_0$ ; $a_T=R.\ddot\theta$, $a_N=R.\dot\theta^2$.

Relation fondamentale de la dynamique

$J_\Delta$ : moment d’inertie ($\mathrm{kg.m^2}$) ; $\mathcal M$ en N.m. Si $\vec F$ est parallèle à l’axe ou le coupe : $\mathcal M_\Delta(\vec F)=0$. Le moment est positif si la force fait tourner dans le sens positif.

Systèmes mécaniques oscillants

Oscillations libres : le système oscille sans apport d’énergie extérieure. Amplitude $X_m$ ou $\theta_m$ ; période propre $T_0$ ; position d’équilibre stable.

Pendule élastique horizontal

Pendule de torsion (SP, SM)

Pendule pesant (SP, SM)

Pendule simple (SP, SM)

Amortissement

Frottement solide : l’amplitude décroît linéairement. Frottement fluide : régime pseudo-périodique ($T\approx T_0$) pour un faible amortissement, apériodique pour un amortissement fort. Oscillations forcées : un excitateur impose sa période ; résonance mécanique quand $T=T_0$.

Aspects énergétiques

Travail d’une force constante : $W_{AB}(\vec F)=\vec F.\overrightarrow{AB}=F.AB\cos\alpha$ (J). Force de moment constant en rotation : $W(\vec F)=\mathcal M_\Delta(\vec F).\Delta\theta$.

Pendule élastique

Sans frottement, $E_m$ est constante ; sa dérivée nulle redonne l’équation différentielle. Avec frottements, $E_m$ diminue (dissipation).

Pendule de torsion (SP, SM)

Pendule pesant (SP, SM)

Pendule simple : $J_\Delta=m.d^2$. En général, $W=-\Delta E_p$.

L’atome et la mécanique de Newton

Quantification des échanges d’énergie : l’énergie échangée $\Delta E$ entre la matière et la lumière ne prend que des valeurs discrètes (quantifiée). Pour une radiation de fréquence $\nu$ :

Les niveaux d’énergie des atomes, molécules et noyaux sont quantifiés ($E_n$, $E_p$). Niveau d’énergie minimale : état fondamental. La mécanique de Newton ne permet pas d’expliquer cette quantification.

Émission d’un photon : passage à un niveau inférieur ; absorption : passage à un niveau supérieur. Ordres de grandeur : molécule (meV), atome (eV), noyau (MeV).

Atome d’hydrogène

$n=1$ : état fondamental ; $n>1$ : états excités ; $n\to\infty$ : ionisation (électron libre).

Chimie – Prérequis et programme

Rappels : quantité de matière

Tableau d’avancement

États : initial ($x=0$), intermédiaire ($x$), final théorique ($x_{max}$), final réel ($x_f$).

Programme (33 % de l’examen)

• Partie 1 – Transformations rapides et lentes d’un système chimique : suivi temporel d’une transformation, vitesse de réaction.
• Partie 2 – Transformations non totales : transformations dans les deux sens, état d’équilibre, transformations liées aux réactions acide-base en solution aqueuse.
• Partie 3 – Évolution spontanée d’un système chimique : piles et production d’énergie, exemples de transformations forcées (électrolyse).
• Partie 4 – Comment contrôler l’évolution d’un système chimique : réactions d’estérification et d’hydrolyse, contrôle de l’évolution par changement de réactif.