Cours RL

Chapitre 7 – Dipôle RL
Physique-Chimie · Safi
Chapitre 7

Dipôle RL

Niveau : 2BACSPF  ·  3ème partie : L’électricité

❶ La bobine

❶❶ Définition et symbole d’une bobine

Une bobine est un dipôle électrique constitué d’un enroulement d’un fil métallique conducteur, généralement en cuivre, autour d’un cylindre isolant. Le fil est recouvert d’une gaine ou d’un vernis isolant.

Son symbole dans le circuit électrique est :

Symbole de la bobine
Bobine d’inductance L et résistance interne r
Inductance

L est une grandeur qui caractérise la bobine, elle s’appelle inductance de la bobine, son unité est le Henry (H).

r est la résistance interne de la bobine en (Ω).

Remarque : Si la résistance interne de la bobine est négligeable ( r = 0 ) (bobine parfaite), son symbole devient :
🖼️
Bobine parfaite
Inductance L sans résistance interne

❶❷ La tension aux bornes d’une bobine

Tension aux bornes d’une bobine

La tension uL aux bornes d’une bobine d’inductance L et de résistance interne r parcourue par un courant électrique d’intensité i est donnée par la relation suivante :

\[ \boxed{u_L(t) = L\frac{di}{dt} + r\,i} \]

Remarques :

  • Si la résistance interne est négligeable (r = 0), la tension devient :
    \[ u_L(t) = L\frac{di}{dt} \]
  • Si la bobine est parcourue par un courant d’intensité constante (i = Cte), alors di/dt = 0, donc :
    \[ u_L(t) = r \cdot i \]

    La bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

🖼️
Bobine avec flèches de tension et courant

❶❸ L’influence de la bobine sur le courant électrique dans un circuit

Activité — Influence de la bobine
Montage expérimental
Circuit avec deux lampes L₁ et L₂, bobine et résistance R

On réalise le montage expérimental ci-contre dans lequel les deux lampes L₁ et L₂ sont identiques, et la résistance de la bobine et celle du conducteur ohmique ont la même valeur : R = r.

  • Lorsqu’on ferme l’interrupteur K, on remarque que la lampe L₂ s’allume avant la lampe L₁.
  • Lorsqu’on ouvre l’interrupteur K, on remarque que la lampe L₂ s’éteint avant la lampe L₁.
Conclusion

La bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant électrique dans le circuit électrique.

❷ Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension

❷❶ Définitions

Dipôle RL

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R avec une bobine d’inductance L et de résistance interne r.

La résistance totale du dipôle RL est :

\[ R_T = R + r \]
Schéma — Dipôle RL
Association série R + bobine (L, r)
Échelon de tension

Soit le montage de la figure ci-contre tel que l’interrupteur K est ouvert :

  • Si on ferme l’interrupteur K : Le dipôle RL est soumis à un échelon montant de tension (Établissement du courant).
  • Si on ouvre l’interrupteur K : Le dipôle RL est soumis à un échelon descendant de tension (Annulation du courant).
Remarque : On utilise la diode (D) dans le circuit pour éviter l’apparition d’étincelles causées par la surtension entre les bornes de la bobine lors de l’ouverture de l’interrupteur K.
Circuit avec diode
Montage RL avec diode de protection

❷❷ La réponse à un échelon montant de tension (Établissement du courant)

(a) Équation différentielle vérifiée par l’intensité de courant i

Équation différentielle — Établissement

À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K : i(t = 0) = 0

D’après la loi d’additivité des tensions, on a :

\[ u_L + u_R = E \]

D’après la loi d’Ohm :

\[ u_R = R \cdot i \]

La tension aux bornes de la bobine est :

\[ u_L = L\frac{di}{dt} + r\,i \]

Donc :

\[ L\frac{di}{dt} + (R + r)i = E \] \[ L\frac{di}{dt} + R_T\,i = E \]

D’où l’équation différentielle vérifiée par l’intensité de courant est :

\[ \boxed{\frac{L}{R_T}\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}} \]
Circuit — Établissement
Circuit RL, K fermé en position 1

(b) Solution de l’équation différentielle

Solution

La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

\[ i(t) = A + B\,e^{-t/\tau} \]

A, B et τ sont des constantes à déterminer.

Détermination de A et τ :

En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient :

\[ \tau = \frac{L}{R_T} \quad\text{et}\quad A = \frac{E}{R_T} \]

Détermination de B par les conditions initiales :

À t = 0, i(0) = 0, donc :

\[ B = -A = -\frac{E}{R_T} \]

Finalement :

\[ \boxed{i(t) = \frac{E}{R_T}\left(1 – e^{-t/\tau}\right)} \]

avec : Ip = E/RT

Tension \(u_R(t)\)
\[ u_R(t) = \frac{E\,R}{R_T}\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \]
Tension \(u_L(t)\)
\[ u_L(t) = E – \frac{E\,R}{R_T}\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \]
Courbes — Établissement du courant
🖼️
Graphe — i(t), u_R(t), u_L(t)
Courbe i(t) croissante vers Iₚ, u_R croissante, u_L décroissante
Cas particulier : Si r est négligeable devant R, alors RT ≈ R
\[ u_R(t) = E\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \quad\text{et}\quad u_L(t) = E\,e^{-t/\tau} \]

❷❸ La réponse à un échelon descendant de tension (Annulation du courant)

(a) Équation différentielle vérifiée par l’intensité de courant i

Équation différentielle — Annulation

À l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur K :

\[ i(t = 0) = I_0 = \frac{E}{R_T} \]

D’après la loi d’additivité des tensions, on a :

\[ u_L + u_R = 0 \]

Avec uR = R i et uL = L di/dt + r i

\[ L\frac{di}{dt} + R_T\,i = 0 \]

D’où l’équation différentielle :

\[ \boxed{\frac{L}{R_T}\frac{di}{dt} + i = 0} \]
Circuit — Annulation
Circuit RL, K ouvert, diode en conduction

(b) Solution de l’équation différentielle

Solution

La solution s’écrit sous la forme :

\[ i(t) = A\,e^{-t/\tau} \]

Détermination de τ :

\[ \tau = \frac{L}{R_T} \]

Détermination de A par les conditions initiales :

À t = 0, i(0) = I0 = E/RT

\[ A = \frac{E}{R_T} \]

Finalement :

\[ \boxed{i(t) = \frac{E}{R_T}\,e^{-t/\tau}} \]
Tension \(u_R(t)\)
\[ u_R(t) = \frac{E\,R}{R_T}\,e^{-t/\tau} \]
Tension \(u_L(t)\)
\[ u_L(t) = -\frac{E\,R}{R_T}\,e^{-t/\tau} \]
Courbes — Annulation du courant
Graphe — i(t), u_R(t), u_L(t)
Courbe i(t) décroissante vers 0, u_R décroissante, u_L négative
Cas particulier : Si r est négligeable devant R, alors RT ≈ R
\[ u_R(t) = E\,e^{-t/\tau} \quad\text{et}\quad u_L(t) = -E\,e^{-t/\tau} \]

❷❹ Constante de temps

Définition

La constante du temps d’un dipôle RL est la grandeur :

\[ \boxed{\tau = \frac{L}{R_T}} \]

Analyse dimensionnelle

Dimension

Pour le conducteur ohmique :

\[ [R] = \frac{[u]}{[i]} = \frac{U}{I} \]

Pour une bobine idéale :

\[ u_L = L\frac{di}{dt} \Rightarrow [L] = \frac{[u]\,[t]}{[i]} = \frac{U\,T}{I} \]

Donc :

\[ [\tau] = \frac{[L]}{[R]} = \frac{U\,T/I}{U/I} = T \]
La constante du temps τ a une dimension d’un temps et s’exprime en secondes (s).

Détermination graphique de τ

Établissement — \(i(t) = I_p(1 – e^{-t/\tau})\)

Méthode 1 :

À t = τ, on a :

\[ i(\tau) = I_p(1 – e^{-1}) \approx 0{,}63\,I_p \]

τ est l’abscisse correspondant à l’ordonnée 0,63 Ip.

Méthode 2 :

τ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe à t = 0 avec la droite horizontale i = Ip.

Méthodes — Établissement
Tangente en t=0 et point à 0,63 Iₚ
Annulation — \(i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\)

Méthode 1 :

À t = τ, on a :

\[ i(\tau) = I_0\,e^{-1} \approx 0{,}37\,I_0 \]

τ est l’abscisse correspondant à l’ordonnée 0,37 I0.

Méthode 2 :

τ est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe à t = 0 avec l’axe des temps.

Méthodes — Annulation
Tangente en t=0 et point à 0,37 I₀
Remarque : La durée du régime transitoire est : Δt ≈ 5τ

❸ Énergie emmagasinée dans une bobine

Énergie emmagasinée

La puissance électrique reçue par la bobine est :

\[ P_e = u_L \cdot i = L\,i\,\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L\,i^2\right) \]

Et puisque Pe = dEe/dt, l’énergie emmagasinée dans la bobine est :

\[ \boxed{E_e = \frac{1}{2}L\,i^2} \]

Ee en joule (J) ; L en henry (H) ; i en ampère (A).

Remarque : L’énergie emmagasinée dans une bobine est proportionnelle au carré de l’intensité du courant qui la traverse.
Chapitre 7 : Dipôle RL 2BACSPF

📚 D'autres cours : 07 : Dipôle RL 2+4h

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