🔌 Dipôle RL | Expressions uR(t) et uL(t) RL-3

Dipôle RL | Expressions uR(t) et uL(t) | Cas r négligeable

🔌 Dipôle RL | Expressions uR(t) et uL(t)

Établissement du courant · Cas particulier r ≪ R
(d) Expression de uR et uL التعبير عن uR و uL
📐 Expression de la tension uR(t)

On a : \(u_R(t) = R \cdot i(t)\)

Et : \(i(t) = \dfrac{E}{R_T} \left(1 – e^{-t/\tau}\right)\) avec \(R_T = R + r\)

Donc :

\(\boxed{u_R(t) = \dfrac{E \cdot R}{R_T} \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}\)
📐 Expression de la tension uL(t)

D’après la loi d’additivité des tensions : \(u_R + u_L = E\)

Donc : \(u_L(t) = E – u_R(t)\)

\(\boxed{u_L(t) = E – \dfrac{E \cdot R}{R_T} \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}\)

Soit :

\(u_L(t) = E \left(1 – \dfrac{R}{R_T}\right) + \dfrac{E \cdot R}{R_T} e^{-\frac{t}{\tau}}\)
⚠️ Remarque : Cas où r est négligeable devant R ملاحظة: حالة إهمال r أمام R

Si la résistance interne de la bobine \(r\) est négligeable devant \(R\), alors :

\(R_T = R + r \approx R\)

Dans ce cas, les expressions se simplifient :

📈 Tension uR(t)
\(u_R(t) = E \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\)

Avec \(\tau = \dfrac{L}{R}\)

🔋 Tension uL(t)
\(u_L(t) = E e^{-\frac{t}{\tau}}\)

Avec \(\tau = \dfrac{L}{R}\)

📊 Graphiques – Cas r = 0

uR(t) = E(1 − e−t/τ)

uL(t) = E e−t/τ

📌 Récapitulatif – Établissement du courant (échelon montant) ملخص
📈 Courant i(t)

\(i(t) = I_0(1 – e^{-t/\tau})\) avec \(I_0 = \dfrac{E}{R_T}\)

⚡ Tension uR(t)

\(u_R(t) = \dfrac{E \cdot R}{R_T} (1 – e^{-t/\tau})\)

🔋 Tension uL(t)

\(u_L(t) = E – \dfrac{E \cdot R}{R_T} (1 – e^{-t/\tau})\)

⏱️ Constante de temps

\(\tau = \dfrac{L}{R_T}\)

📌 Cas particulier r = 0 (bobine parfaite)

\(R_T = R\) ; \(\tau = \dfrac{L}{R}\)

\(u_R(t) = E(1 – e^{-t/\tau})\)

\(u_L(t) = E e^{-t/\tau}\)

📊 Valeurs caractéristiques

À \(t = \tau\) :

  • \(i = 0,63 I_0\)
  • \(u_R = 0,63E\) (si r = 0)
  • \(u_L = 0,37E\) (si r = 0)
💡 À retenir :
  • La tension aux bornes de la résistance \(u_R(t)\) suit la même loi exponentielle que le courant.
  • La tension aux bornes de la bobine \(u_L(t)\) est maximale à \(t = 0\) (égale à \(E\)) et décroît exponentiellement.
  • La constante de temps \(\tau = L/R_T\) détermine la rapidité du régime transitoire.
🧠 Exercice d’application تطبيق

Soit un circuit RL série avec : \(E = 12\ \text{V}\), \(R = 100\ \Omega\), \(L = 0,5\ \text{H}\), \(r = 0\) (bobine parfaite).

1️⃣ Calculer la constante de temps τ.

\(\tau = \dfrac{L}{R} = \dfrac{0,5}{100} = 5 \times 10^{-3}\ \text{s} = 5\ \text{ms}\)

2️⃣ Calculer le courant maximal I₀.

\(I_0 = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{100} = 0,12\ \text{A} = 120\ \text{mA}\)

3️⃣ Calculer i(t), uR(t) et uL(t) à t = τ.

\(i(\tau) = I_0(1 – e^{-1}) = 0,12 \times 0,63 \approx 0,076\ \text{A}\)
\(u_R(\tau) = E(1 – e^{-1}) = 12 \times 0,63 \approx 7,56\ \text{V}\)
\(u_L(\tau) = E e^{-1} = 12 \times 0,37 \approx 4,44\ \text{V}\)

4️⃣ Au bout de combien de temps le courant est-il établi ?

\(t \approx 5\tau = 5 \times 5 = 25\ \text{ms}\)

🔌 Dipôle RL

\[ u_R(t)=\frac{E\,R}{R_T}\left(1-e^{-t/\tau}\right) \]

\[ u_L(t)=E-u_R(t) \]

\[ \tau=\frac{L}{R_T} \]

Cas particulier : \( r=0 \)

\[ u_R(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right) \]

\[ u_L(t)=E\,e^{-t/\tau} \]

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