🔌 Dipôle RL | Réponse à un échelon de tension RL-2

Dipôle RL | Réponse à un échelon de tension | Établissement du courant

🔌 Dipôle RL | Réponse à un échelon de tension

Établissement du courant · i(t) = I₀(1 − e−t/τ) · τ = L/R
1. Définitions تعريفات

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance \(R\) avec une bobine d’inductance \(L\) et de résistance interne \(r\).

\(R_T = R + r\)

📌 Montage : générateur E, interrupteur K, résistance R, bobine (L, r), diode D

⚠️ Remarque : On utilise la diode (D) dans le circuit pour éviter l’apparition d’étincelles causées par la surtension entre les bornes de la bobine lors de l’ouverture de l’interrupteur K.

🔛 Fermeture de K

Le dipôle RL est soumis à un échelon montant de tension
(établissement du courant).

🔛 Ouverture de K

Le dipôle RL est soumis à un échelon descendant de tension
(annulation du courant).

2. Réponse à un échelon montant de tension (établissement du courant) استجابة لتدرج صاعد للتوتر
(c) Équation différentielle vérifiée par l’intensité de courant i

À \(t = 0\), on ferme K. Condition initiale : \(i(0) = 0\).

Loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_R = E\)

Loi d’Ohm : \(u_R = R i\)

Tension aux bornes de la bobine : \(u_L = L \dfrac{di}{dt} + r i\)

Donc : \(L \dfrac{di}{dt} + r i + R i = E\)

\(L \dfrac{di}{dt} + (R + r) i = E\)

\(\boxed{\dfrac{L}{R_T} \dfrac{di}{dt} + i = \dfrac{E}{R_T}}\)

avec \(R_T = R + r\)

📝 Équation différentielle pour la tension uR

On a \(u_R = R i\) ⇒ \(i = \dfrac{u_R}{R}\) et \(\dfrac{di}{dt} = \dfrac{1}{R} \dfrac{du_R}{dt}\)

En remplaçant dans l’équation différentielle :

\(\dfrac{L}{R_T} \cdot \dfrac{1}{R} \dfrac{du_R}{dt} + \dfrac{u_R}{R} = \dfrac{E}{R_T}\)

\(\boxed{\dfrac{L}{R_T} \dfrac{du_R}{dt} + u_R = \dfrac{R}{R_T} E}\)
(d) Solution de l’équation différentielle

La solution de l’équation \(\dfrac{L}{R_T} \dfrac{di}{dt} + i = \dfrac{E}{R_T}\) s’écrit :

\(i(t) = A + B e^{-\frac{t}{\tau}}\)

Détermination de A et τ :

\(i(t) = A + B e^{-t/\tau}\) ⇒ \(\dfrac{di}{dt} = -\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\)

En remplaçant : \(\dfrac{L}{R_T} \left(-\dfrac{B}{\tau} e^{-t/\tau}\right) + A + B e^{-t/\tau} = \dfrac{E}{R_T}\)

\(A + B e^{-t/\tau} \left(1 – \dfrac{L}{R_T \tau}\right) = \dfrac{E}{R_T}\)

Pour que l’équation soit vérifiée pour tout \(t\) :

\(\begin{cases} 1 – \dfrac{L}{R_T \tau} = 0 \\ A = \dfrac{E}{R_T} \end{cases}\)
\(\boxed{\tau = \dfrac{L}{R_T}}\) et \(\boxed{A = \dfrac{E}{R_T} = I_0}\)
🔍 Détermination de B à l’aide des conditions initiales

À \(t = 0\), le courant est nul : \(i(0) = 0\).

\(i(0) = A + B e^{0} = A + B = 0\) ⇒ \(B = -A = -\dfrac{E}{R_T}\)

\(\boxed{i(t) = \dfrac{E}{R_T} \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right)}\)

avec \(I_0 = \dfrac{E}{R_T}\) le courant maximal en régime permanent.

t (s) i (A) I₀ = E/R τ = L/R 0,63 I₀

📌 Courbe i(t) = I₀(1 − e−t/τ)

💡 Interprétation :

  • À \(t = 0\) : \(i = 0\) (le courant est nul à l’instant de la fermeture).
  • À \(t = \tau\) : \(i = I_0(1 – e^{-1}) \approx 0,63 I_0\).
  • À \(t \to \infty\) : \(i \to I_0 = E/R_T\) (régime permanent).
  • La constante de temps \(\tau = L/R_T\) détermine la vitesse d’établissement du courant.
📌 Récapitulatif – Établissement du courant dans un dipôle RL ملخص
📈 Courant i(t)

\(i(t) = I_0(1 – e^{-t/\tau})\)

⏱️ Constante de temps

\(\tau = \dfrac{L}{R_T}\) (avec \(R_T = R + r\))

⚡ Tension uR(t)

\(u_R(t) = R \cdot i(t) = R I_0(1 – e^{-t/\tau})\)

🔋 Tension uL(t)

\(u_L(t) = E – u_R(t) = E e^{-t/\tau} + r I_0(1 – e^{-t/\tau})\)

💡 À retenir :
  • La constante de temps \(\tau = L/R_T\) caractérise la rapidité d’établissement du courant.
  • À \(t = \tau\), le courant atteint 63% de sa valeur finale.
  • Après \(5\tau\), le courant est considéré comme établi (99%).
🔌 Dipôle RL — \( i(t) = \frac{E}{R_T}\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \) · \( \tau = \frac{L}{R_T} \) · Constante de temps caractéristique de l’établissement du courant
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