🔌 Dipôle RL | Annulation du courant RL-4
🔌 Dipôle RL | Annulation du courant
📌 À \(t = 0\), on ouvre l’interrupteur K. Le courant initial est \(i(0) = I_0 = E/R_T\).
À \(t = 0\), on ouvre K. Condition initiale : \(i(0) = I_0 = \dfrac{E}{R_T}\) (avec \(R_T = R + r\)).
Loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_R = 0\)
Loi d’Ohm : \(u_R = R i\)
Tension aux bornes de la bobine : \(u_L = L \dfrac{di}{dt} + r i\)
Donc :
\(L \dfrac{di}{dt} + r i + R i = 0\)
\(L \dfrac{di}{dt} + (R + r) i = 0\)
avec \(R_T = R + r\).
On a \(u_R = R i\) ⇒ \(i = \dfrac{u_R}{R}\) et \(\dfrac{di}{dt} = \dfrac{1}{R} \dfrac{du_R}{dt}\)
En remplaçant dans l’équation différentielle :
\(\dfrac{L}{R_T} \cdot \dfrac{1}{R} \dfrac{du_R}{dt} + \dfrac{u_R}{R} = 0\)
En multipliant par \(R\) :
💡 Interprétation : La constante de temps \(\tau = \dfrac{L}{R_T}\) est la même que pour l’établissement du courant. L’équation différentielle est homogène (sans second membre), ce qui correspond à un régime libre (décroissance exponentielle).
\(\dfrac{L}{R_T} \dfrac{di}{dt} + i = 0\)
🎯 Condition initiale\(i(0) = I_0 = \dfrac{E}{R_T}\)
\(\tau = \dfrac{L}{R_T}\) (identique à la charge)
🔋 Solution générale\(i(t) = I_0 e^{-t/\tau}\)
📌 i(t) = I₀ e−t/τ (décroissance exponentielle)
- Lors de l’ouverture de l’interrupteur, le courant diminue exponentiellement de I₀ à 0.
- La constante de temps \(\tau = L/R_T\) est la même que pour l’établissement.
- À \(t = \tau\), le courant vaut \(0,37 I₀\) (il a diminué de 63%).
- La diode (D) protège le circuit contre les surtensions dues à la bobine.
L’équation différentielle \(\dfrac{L}{R_T} \dfrac{di}{dt} + i = 0\) a pour solution générale :
avec \(\tau = \dfrac{L}{R_T}\).
Détermination de A à l’aide de la condition initiale :
À \(t = 0\), \(i(0) = I_0 = \dfrac{E}{R_T}\)
\(i(0) = A e^{0} = A = I_0\)
\(u_R(t) = R \cdot i(t) = R I_0 e^{-t/\tau}\)
Soit : \(u_R(t) = \dfrac{E \cdot R}{R_T} e^{-t/\tau}\)
\(u_L(t) = L \dfrac{di}{dt} + r i = -\dfrac{L}{\tau} I_0 e^{-t/\tau} + r I_0 e^{-t/\tau}\)
Ou directement : \(u_L(t) = -u_R(t) = -\dfrac{E \cdot R}{R_T} e^{-t/\tau}\)
⚠️ Signe − indique une tension inverse.
Si \(r \ll R\), alors \(R_T \approx R\) et \(\tau = \dfrac{L}{R}\).
Les expressions se simplifient :
\(i(t) = \dfrac{E}{R} e^{-t/\tau}\)
\(u_R(t) = E e^{-t/\tau}\)
\(u_L(t) = -E e^{-t/\tau}\)
\(\tau = \dfrac{L}{R}\)
\(i(t) = I_0(1 – e^{-t/\tau})\)
\(u_R(t) = \dfrac{E \cdot R}{R_T}(1 – e^{-t/\tau})\)
\(u_L(t) = E – u_R(t)\)
\(i(t) = I_0 e^{-t/\tau}\)
\(u_R(t) = \dfrac{E \cdot R}{R_T} e^{-t/\tau}\)
\(u_L(t) = -u_R(t)\)
- La constante de temps \(\tau = L/R_T\) est identique dans les deux régimes.
- À la fermeture, le courant croît exponentiellement de 0 à I₀.
- À l’ouverture, le courant décroît exponentiellement de I₀ à 0.
- La bobine s’oppose aux variations du courant (loi de Lenz).