Cours : Dipôle RL

Chapitre 7 – Dipôle RL
Physique-Chimie
Chapitre 7

Dipôle RL

Niveau : 2BACSPF  ·  3ème partie : L’électricité

1 La bobine

1.1 Définition et symbole d’une bobine

Une bobine est un dipôle électrique constitué d’un enroulement d’un fil métallique conducteur, généralement en cuivre, autour d’un cylindre isolant. Le fil est recouvert d’une gaine ou d’un vernis isolant.

Son symbole dans le circuit électrique est représenté ci-contre, avec :

  • \(L\) : grandeur caractérisant la bobine, appelée inductance — unité : Henry (H)
  • \(r\) : résistance interne de la bobine, en ohms (Ω)
🖼️
Symbole de la bobine
Symbole électrique avec L et r
Remarque : Si la résistance interne est négligeable (\(r = 0\)), on parle de bobine parfaite et son symbole devient simplifié.
🖼️
Symbole — Bobine parfaite
Symbole simplifié, r = 0

1.2 La tension aux bornes d’une bobine

Loi générale

La tension \(u_L\) aux bornes d’une bobine d’inductance \(L\) et de résistance interne \(r\), parcourue par un courant \(i\), est donnée par :

\[ \boxed{u_L(t) = L\,\frac{di}{dt} + r\,i} \]
Remarque 1 : Si la résistance interne est négligeable (\(r = 0\)) :
\[ u_L(t) = L\,\frac{di}{dt} \]
Remarque 2 : Si la bobine est parcourue par un courant d’intensité constante (\(i = \text{Cte}\)), alors \(\dfrac{di}{dt} = 0\), donc :
\[ u_L(t) = r \cdot i \]

La bobine se comporte alors comme un conducteur ohmique de résistance \(r\).

1.3 Influence de la bobine sur le courant électrique

On réalise un montage dans lequel les lampes \(L_1\) et \(L_2\) sont identiques, et la résistance de la bobine et celle du conducteur ohmique ont la même valeur \(R = r\).

  • Quand on ferme K : la lampe \(L_2\) s’allume avant \(L_1\).
  • Quand on ouvre K : la lampe \(L_2\) s’éteint avant \(L_1\).
🖼️
Montage — Influence de la bobine
Circuit avec L1 (branche bobine) et L2 (branche résistance)
Conclusion : La bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant électrique dans le circuit.

2 Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension

2.1 Définitions

Dipôle RL

Association en série d’un conducteur ohmique de résistance \(R\) avec une bobine d’inductance \(L\) et de résistance interne \(r\). La résistance totale du dipôle RL est :

\[ R_T = R + r \]

Soit le montage ci-contre, interrupteur K initialement ouvert :

  • Si on ferme K → échelon montant (établissement du courant)
  • Si on ouvre K → échelon descendant (annulation du courant)
🖼️
Schéma — Montage RL
Circuit RL, générateur E, interrupteur K, diode D
Remarque : On utilise une diode (D) dans le circuit pour éviter l’apparition d’étincelles causées par la surtension aux bornes de la bobine lors de l’ouverture de K.
❷.2 — Réponse à un échelon montant (établissement du courant)

● Équation différentielle vérifiée par \(i\)

À \(t = 0\), on ferme K : \(i(t=0) = 0\).

D’après la loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_R = E\). Avec \(u_R = R\,i\) et \(u_L = L\dfrac{di}{dt} + r\,i\) :

\[ L\,\frac{di}{dt} + r\,i + R\,i = E \] \[ L\,\frac{di}{dt} + (R+r)\,i = E \] \[ L\,\frac{di}{dt} + R_T\,i = E \]

D’où l’équation différentielle vérifiée par \(i\) :

\[ \boxed{\frac{L}{R_T}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}} \]
Remarque — équation en \(u_R\) : avec \(i = u_R/R\) :
\[ \frac{L}{R}\,\frac{du_R}{dt} + \frac{r+R}{R}\,u_R = E \] \[ \boxed{\frac{L}{R_T}\,\frac{du_R}{dt} + u_R = \frac{E\,R}{R_T}} \]

● Solution de l’équation différentielle

La solution générale est de la forme :

\[ i(t) = A + B\,e^{-t/\tau} \]

A, B et τ sont des constantes à déterminer.

Détermination de A et τ par identification : on a \(\dfrac{di}{dt} = -\dfrac{B}{\tau}e^{-t/\tau}\). En substituant dans l’équation différentielle :

\[ \frac{L}{R_T}\!\left(-\frac{B}{\tau}\right)e^{-t/\tau} + A + B\,e^{-t/\tau} = \frac{E}{R_T} \] \[ B\,e^{-t/\tau}\!\left(1-\frac{L}{R_T\,\tau}\right) = \frac{E}{R_T} – A \]

Pour que cette équation soit vérifiée pour tout \(t\) :

\[ 1 – \frac{L}{R_T\,\tau} = 0 \;\Rightarrow\; \tau = \frac{L}{R_T} \qquad\text{et}\qquad \frac{E}{R_T} – A = 0 \;\Rightarrow\; A = \frac{E}{R_T} \]

Détermination de B par les conditions initiales : à \(t=0\), \(i(0)=0\) :

\[ A + B\,e^{0} = 0 \;\Rightarrow\; A+B=0 \;\Rightarrow\; B = -A = -\frac{E}{R_T} \]

On obtient :

\[ i(t) = \frac{E}{R_T} – \frac{E}{R_T}\,e^{-t/\tau} = \frac{E}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right) \]

Finalement, en posant \(I_p = \dfrac{E}{R_T}\) :

\[ \boxed{i(t) = I_p\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)} \qquad \text{avec}\quad I_p = \frac{E}{R_T} \]
🖼️
Graphe — Établissement du courant
Courbe i(t) croissante vers Ip

● Expressions de \(u_R\) et \(u_L\)

Tension \(u_R(t)\)
\[ u_R = R\,i(t) \] \[ \boxed{u_R(t) = \frac{E\,R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)} \]
Tension \(u_L(t)\)
\[ u_L = E – u_R \] \[ \boxed{u_L(t) = E – \frac{E\,R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)} \]
Remarque : Si \(r\) est négligeable devant \(R\), alors \(R_T \approx R\), donc :
\[ u_R(t) = E\!\left(1-e^{-t/\tau}\right) \qquad\text{et}\qquad u_L(t) = E\,e^{-t/\tau} \]
❷.3 — Réponse à un échelon descendant (annulation du courant)

● Équation différentielle vérifiée par \(i\)

À \(t = 0\), on ouvre K : \(i(t=0) = I_0 = \dfrac{E}{R_T}\).

D’après la loi d’additivité des tensions : \(u_L + u_R = 0\). Avec \(u_R = R\,i\) et \(u_L = L\dfrac{di}{dt}+r\,i\) :

\[ L\,\frac{di}{dt} + (R+r)\,i = 0 \;\Rightarrow\; L\,\frac{di}{dt} + R_T\,i = 0 \]

D’où l’équation différentielle :

\[ \boxed{\frac{L}{R_T}\,\frac{di}{dt} + i = 0} \]
Remarque — équation en \(u_R\) :
\[ \boxed{\frac{L}{R_T}\,\frac{du_R}{dt} + u_R = 0} \]

● Solution de l’équation différentielle

La solution générale est :

\[ i(t) = A\,e^{-t/\tau} \]

Détermination de τ par identification :

\[ \frac{L}{R_T}\!\left(-\frac{A}{\tau}\right)e^{-t/\tau} + A\,e^{-t/\tau} = 0 \;\Rightarrow\; 1-\frac{L}{R_T\,\tau}=0 \;\Rightarrow\; \tau = \frac{L}{R_T} \]

Détermination de A par les conditions initiales : à \(t=0\), \(i(0) = \dfrac{E}{R_T}\) :

\[ A\,e^{0} = \frac{E}{R_T} \;\Rightarrow\; A = \frac{E}{R_T} \]

On obtient :

\[ i(t) = \frac{E}{R_T}\,e^{-t/\tau} \]

Finalement, en posant \(I_0 = \dfrac{E}{R_T}\) :

\[ \boxed{i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}} \qquad \text{avec}\quad I_0 = \frac{E}{R_T} \]
🖼️
Graphe — Annulation du courant
Courbe i(t) décroissante vers 0

● Expressions de \(u_R\) et \(u_L\)

Tension \(u_R(t)\)
\[ u_R = R\,i(t) \] \[ \boxed{u_R(t) = \frac{E\,R}{R_T}\,e^{-t/\tau}} \]
Tension \(u_L(t)\)
\[ u_L = -u_R \] \[ \boxed{u_L(t) = -\frac{E\,R}{R_T}\,e^{-t/\tau}} \]
Remarque : Si \(r\) est négligeable devant \(R\), alors \(R_T \approx R\), donc :
\[ u_R(t) = E\,e^{-t/\tau} \qquad\text{et}\qquad u_L(t) = -E\,e^{-t/\tau} \]

2.4 Constante de temps τ

Définition

La constante de temps d’un dipôle RL est :

\[ \tau = \frac{L}{R_T} \]

Analyse dimensionnelle

Pour le conducteur ohmique : \(u_R = Ri \Rightarrow R = \dfrac{U}{I}\)

Pour une bobine idéale : \(u_L = L\dfrac{di}{dt} \Rightarrow L = \dfrac{u_L}{di/dt} = \dfrac{U \cdot T}{I}\)

\[ [\tau] = \left[\frac{L}{R}\right] = \frac{U \cdot T / I}{U/I} = T \]
La constante de temps \(\tau\) a la dimension d’un temps et s’exprime en secondes (s).

Détermination graphique de \(\tau\)

Pendant l’établissement — \(i(t) = I_p(1-e^{-t/\tau})\)

Méthode 1 : À \(t = \tau\) :

\[ i(\tau) = I_p(1-e^{-1}) \approx 0{,}63\,I_p \]

\(\tau\) est l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}63\,I_p\).

Méthode 2 : \(\tau\) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe en \(t=0\) avec la droite horizontale \(i = I_p\).

🖼️
Graphe — Méthodes établissement
Courbe i(t) avec tangente en t=0 et point à 0,63Ip
Pendant l’annulation — \(i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\)

Méthode 1 : À \(t = \tau\) :

\[ i(\tau) = I_0\,e^{-1} \approx 0{,}37\,I_0 \]

\(\tau\) est l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}37\,I_0\).

Méthode 2 : \(\tau\) est l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe en \(t=0\) avec l’axe des temps.

🖼️
Graphe — Méthodes annulation
Courbe i(t) avec tangente en t=0 et point à 0,37I0
Remarque : La durée du régime transitoire est : \(\Delta t \approx 5\tau\)

3 Énergie emmagasinée dans une bobine

La puissance électrique reçue par la bobine est :

\[ P_e = u_L \cdot i = L\,i\,\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\,L\,i^2\right) \]

Et puisque \(P_e = \dfrac{dE_e}{dt}\), on obtient l’énergie emmagasinée dans la bobine :

\[ \boxed{E_e = \frac{1}{2}\,L\,i^2} \]

\(E_e\) en joule (J)  ;  \(L\) en Henry (H)  ;  \(i\) en ampère (A)

Chapitre 7 : Dipôle RL 2BACSPF

📚 D'autres cours : 07 : Dipôle RL 2+4h