🔌 Dipôle RL -

❶ La bobine

❶❶ Définition, constitution et symbole

Une bobine (ou inductance) est un dipôle passif constitué d’un enroulement hélicoïdal d’un fil métallique conducteur — généralement du cuivre — autour d’un noyau (cylindre isolant ou ferromagnétique). Le fil est recouvert d’une gaine ou d’un vernis isolant pour éviter les courts-circuits entre les spires.

On distingue deux types :

Bobine à noyau d’air : inductance plus faible, pertes minimales.
Bobine à noyau de fer (ferrite) : inductance élevée, utilisée dans les transformateurs et filtres.

Une bobine est modélisée par deux grandeurs physiques :

Symbole	Nom	Unité	Signification physique
$L$	Inductance	Henry (H)	Capacité à stocker de l’énergie magnétique ; liée au nombre de spires et à la géométrie
$r$	Résistance interne	Ohm (Ω)	Résistance du fil de cuivre — cause des pertes par effet Joule

Symbole circuit :
Bobine réelle $(L, r)$ : une série de demi-cercles + résistance en série.
Bobine idéale $(r = 0)$ : série de demi-cercles seuls.

❶❷ Tension aux bornes d’une bobine — démonstration

Lorsqu’un courant variable $i(t)$ traverse une bobine, il crée un flux magnétique variable $\Phi$ dans le noyau. Par la loi de Faraday, cette variation de flux induit une force électromotrice (f.é.m.) d’auto-induction opposée à la cause qui lui donne naissance (loi de Lenz).

▸ Démonstration

Flux magnétique : Pour $n$ spires, le flux total est $\Phi_{total} = n\,\Phi = L\,i$, où $L$ est l’inductance propre.

Loi de Faraday : La f.é.m. induite est $e = -\dfrac{d(L\,i)}{dt} = -L\,\dfrac{di}{dt}$

Modèle du dipôle : La bobine réelle est équivalente à une bobine idéale en série avec $r$. En convention récepteur : \[u_L = -e + r\,i = L\,\frac{di}{dt} + r\,i\]

Formule fondamentale — tension bobine

$$\boxed{u_L(t) = L\,\frac{di}{dt} + r\,i}$$

Cas particuliers :

Si $r = 0$ (bobine idéale) : $\displaystyle u_L = L\,\frac{di}{dt}$
Si $i = \text{constante}$ ($\frac{di}{dt} = 0$) : $u_L = r\cdot i$ → la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$.
En régime continu établi ($t \to \infty$) : $u_L = r\cdot I_p$, et si $r \approx 0$, $u_L \to 0$.

❶❸ Influence de la bobine sur le courant

Expérience : Deux lampes identiques L₁ et L₂, l’une en série avec une bobine $(L, r)$, l’autre avec un conducteur ohmique $R = r$, sont branchées en parallèle sur un générateur de tension $E$.

Action	Observation	Explication
Fermeture de K	L₂ s’allume avant L₁	La bobine s’oppose à l’augmentation rapide de courant (f.é.m. contra-directe)
Ouverture de K	L₂ s’éteint avant L₁	La bobine maintient le courant en restituant son énergie magnétique

Conclusion : La bobine retarde l’établissement et l’annulation du courant électrique. Elle joue un rôle d’inertie électrique analogue à l’inertie mécanique d’une masse.

❷ Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension

❷❶ Définitions et montage

Le dipôle RL est l’association en série d’un conducteur ohmique de résistance $R$ et d’une bobine $(L,\,r)$. La résistance totale du dipôle est :

$$R_T = R + r$$

Le montage comporte une source de tension $E$, un interrupteur K, une diode de protection D, et le dipôle RL.

Fermeture de K à $t = 0$ → le dipôle RL reçoit un échelon montant de tension $E$ → établissement du courant.
Ouverture de K à $t = 0$ → le dipôle RL est court-circuité → échelon descendant → annulation du courant.

⚠ Rôle de la diode D : Lors de l’ouverture de K, la bobine génère une surtension très élevée ($u_L$ peut être >> $E$) qui provoquerait des étincelles dangereuses aux bornes de K. La diode D (en antiparallèle) offre un chemin de décharge à la bobine et protège le circuit.

❷❷ Réponse à un échelon montant — Établissement du courant

▸ Conditions initiales et loi des mailles

Condition initiale : avant fermeture de K, le courant est nul. Le courant ne peut pas sauter instantanément (propriété fondamentale de la bobine). Donc : $i(0^+) = i(0^-) = 0$

Loi des mailles (Kirchhoff) : \[E = u_R + u_L = R\,i + L\,\frac{di}{dt} + r\,i = R_T\,i + L\,\frac{di}{dt}\]

Équation différentielle du 1^er ordre : \[\frac{L}{R_T}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}\] On pose $\tau = \dfrac{L}{R_T}$ et $I_p = \dfrac{E}{R_T}$ : \[\tau\,\frac{di}{dt} + i = I_p\]

▸ Résolution complète de l’équation différentielle

Forme de la solution générale : La solution d’une équation différentielle linéaire du 1^er ordre est la somme d’une solution particulière et de la solution de l’équation homogène : \[i(t) = i_{particulière} + i_{homogène} = A + B\,e^{-t/\tau}\]

Détermination de $A$ et $\tau$ :
On substitue $i = A + Be^{-t/\tau}$ et $\dfrac{di}{dt} = -\dfrac{B}{\tau}e^{-t/\tau}$ dans l’équation : \[\tau\!\left(-\frac{B}{\tau}e^{-t/\tau}\right) + A + Be^{-t/\tau} = I_p\] \[-Be^{-t/\tau} + A + Be^{-t/\tau} = I_p \quad\Rightarrow\quad A = I_p = \frac{E}{R_T}\] Le terme en $e^{-t/\tau}$ s’annule pour tout $t$ : $\tau$ est libre → on le identifie comme $\tau = L/R_T$.

Détermination de $B$ par la condition initiale : \[i(0) = A + B\,e^0 = A + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -A = -\frac{E}{R_T}\]

Solution finale : \[i(t) = \frac{E}{R_T} – \frac{E}{R_T}\,e^{-t/\tau} = \frac{E}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\]

Résultats — Établissement du courant

$$i(t) = I_p\!\left(1 – e^{-t/\tau}\right) \qquad I_p = \frac{E}{R_T} \qquad \tau = \frac{L}{R_T}$$ $$u_R(t) = E\,\frac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right) \qquad u_L(t) = E\left[1 – \frac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\right]$$

▸ Comportement aux limites

Instant	$i(t)$	$u_R(t)$	$u_L(t)$	Interprétation
$t = 0$	$0$	$0$	$E$	Tout le voltage est absorbé par la bobine ; le courant ne peut pas sauter
$t = \tau$	$0{,}63\,I_p$	$0{,}63\,E\cdot\frac{R}{R_T}$	$0{,}37\,E$	Le courant a atteint 63 % de sa valeur finale
$t = 5\tau$	$\approx I_p$	$\approx E\cdot\frac{R}{R_T}$	$\approx 0$	Régime permanent : courant constant, bobine = résistance $r$
$t \to \infty$	$I_p = \frac{E}{R_T}$	$E\cdot\frac{R}{R_T}$	$E\cdot\frac{r}{R_T}$	État final — courant de plateau

▸ Courbe de $i(t)$ — Établissement

Fig. 1 — Courbe d’établissement du courant dans un dipôle RL

❷❸ Réponse à un échelon descendant — Annulation du courant

▸ Mise en équation

Condition initiale : juste avant ouverture de K, le courant était en régime permanent. Par continuité du courant dans la bobine : \[i(0^+) = I_0 = \frac{E}{R_T}\]

Circuit après ouverture : la source $E$ est déconnectée. La bobine se décharge dans $R_T$. Loi des mailles : \[u_L + u_R = 0 \quad\Rightarrow\quad L\,\frac{di}{dt} + R_T\,i = 0\]

Équation différentielle homogène : \[\tau\,\frac{di}{dt} + i = 0 \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{L}{R_T}\]

Solution : $i(t) = A\,e^{-t/\tau}$. Condition initiale : $i(0) = A = I_0$ d’où : \[i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\]

Résultats — Annulation du courant

$$i(t) = I_0\,e^{-t/\tau} \qquad I_0 = \frac{E}{R_T} \qquad \tau = \frac{L}{R_T}$$ $$u_R(t) = E\,\frac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau} \qquad u_L(t) = -E\,\frac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau}$$

Remarque importante : $u_L(t) < 0$ lors de l'annulation. La bobine restitue son énergie magnétique et devient source de tension. C’est cette surtension qui justifie la présence de la diode de protection.

▸ Comportement aux limites — Annulation

Instant	$i(t)$	$u_R(t)$	$u_L(t)$
$t = 0$	$I_0$	$E\cdot\frac{R}{R_T}$	$-E\cdot\frac{R}{R_T}$
$t = \tau$	$0{,}37\,I_0$	$0{,}37\,E\cdot\frac{R}{R_T}$	$-0{,}37\,E\cdot\frac{R}{R_T}$
$t \to \infty$	$0$	$0$	$0$

▸ Courbe de $i(t)$ — Annulation

Fig. 2 — Courbe d’annulation du courant dans un dipôle RL

❷❹ Constante de temps $\tau$

▸ Définition

La constante de temps caractérise la rapidité du régime transitoire :

$$\boxed{\tau = \frac{L}{R_T} = \frac{L}{R+r}} \qquad [\tau] = \text{seconde (s)}$$

▸ Analyse dimensionnelle

Résistance : $[R] = \dfrac{[U]}{[I]} = \dfrac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega$

Inductance : de $u_L = L\dfrac{di}{dt}$ → $[L] = \dfrac{[U]\cdot[T]}{[I]} = \dfrac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{A}} = \text{H}$

Donc : $\left[\dfrac{L}{R}\right] = \dfrac{\text{V}\cdot\text{s}/\text{A}}{\text{V}/\text{A}} = \text{s}$ ✓

▸ Influence de $\tau$ sur la durée du régime transitoire

$t$	$i(t)/I_p$ (montant)	$i(t)/I_0$ (descendant)
$\tau$	63,2 %	36,8 %
$2\tau$	86,5 %	13,5 %
$3\tau$	95,0 %	5,0 %
$4\tau$	98,2 %	1,8 %
$5\tau$	99,3 %	0,7 %

Convention : On considère que le régime transitoire est terminé après $\Delta t \approx 5\tau$ (erreur < 1 % par rapport à la valeur finale).

▸ Détermination graphique de $\tau$

	Établissement $\left[i(t) = I_p(1-e^{-t/\tau})\right]$	Annulation $\left[i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\right]$
Méthode 1	À $t = \tau$ : $i = 0{,}63\,I_p$ → lire l’abscisse correspondant à l’ordonnée $0{,}63\,I_p$	À $t = \tau$ : $i = 0{,}37\,I_0$ → lire l’abscisse correspondant à l’ordonnée $0{,}37\,I_0$
Méthode 2	Tracer la tangente en $t=0$ : elle coupe la droite $i = I_p$ en $t = \tau$	Tracer la tangente en $t=0$ : elle coupe l’axe des abscisses en $t = \tau$

❷❺ Tableau récapitulatif comparatif

🔵 Synthèse — Dipôle RL : établissement vs annulation

Grandeur	Établissement (fermeture K)	Annulation (ouverture K)
Condition initiale	$i(0) = 0$	$i(0) = I_0 = E/R_T$
Équation différentielle	$\tau\dfrac{di}{dt} + i = I_p$	$\tau\dfrac{di}{dt} + i = 0$
Solution $i(t)$	$I_p\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)$	$I_0\,e^{-t/\tau}$
$u_R(t)$	$E\dfrac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)$	$E\dfrac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau}$
$u_L(t)$	$E\!\left[1-\dfrac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\right]$	$-E\dfrac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau}$
Valeur à $t=0$	$i=0$, $u_L=E$	$i=I_0$, $u_L=-E R/R_T$
Valeur à $t\to\infty$	$i=I_p$, $u_L=Er/R_T$	$i=0$, $u_L=0$
Constante $\tau$	$\tau = \dfrac{L}{R_T} = \dfrac{L}{R+r}$

❸ Énergie emmagasinée dans une bobine

Quand un courant $i$ circule dans une bobine d’inductance $L$, un champ magnétique est créé dans le noyau. Ce champ stocke de l’énergie sous forme magnétique, à l’image d’un condensateur qui stocke de l’énergie électrique.

▸ Dérivation

Puissance instantanée reçue par la bobine idéale ($r=0$) : \[P_e(t) = u_L \cdot i = L\,\frac{di}{dt} \cdot i\]

On reconnaît une dérivée : $L\,i\,\dfrac{di}{dt} = \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}L\,i^2\right)$

Donc $P_e = \dfrac{dE_e}{dt}$, ce qui donne par intégration : \[E_e = \frac{1}{2}\,L\,i^2\]

Énergie magnétique emmagasinée

$$\boxed{E_e = \frac{1}{2}\,L\,i^2}$$

$E_e$ en Joule (J) · $L$ en Henry (H) · $i$ en Ampère (A)

Moment	Énergie $E_e$	Commentaire
$t = 0$	$0$	Bobine déchargée, pas de courant
$t = \tau$	$\frac{1}{2}L\,(0{,}63\,I_p)^2 \approx 0{,}40\,E_{e,max}$	40 % de l’énergie maximale
$t \to \infty$	$\dfrac{1}{2}L\,I_p^2 = \dfrac{L\,E^2}{2R_T^2}$	Énergie maximale stockée

Analogie : La bobine (inductance $L$) est l’analogue électrique d’une masse mécanique $m$. L’énergie cinétique $\frac{1}{2}mv^2$ correspond à $\frac{1}{2}Li^2$, le courant $i$ jouant le rôle de la vitesse $v$.

❹ Exemples numériques résolus

Exemple 1 — Établissement du courant

Un dipôle RL est constitué d’une résistance $R = 100\,\Omega$, d’une bobine d’inductance $L = 0{,}5\,\text{H}$ et de résistance interne $r = 20\,\Omega$. On applique un échelon de tension $E = 12\,\text{V}$ à $t = 0$.

Calculer : $R_T$, $I_p$, $\tau$, $i(2\tau)$, et l’énergie finale.

$R_T = R + r = 100 + 20 = 120\,\Omega$

$I_p = \dfrac{E}{R_T} = \dfrac{12}{120} = 0{,}1\,\text{A} = 100\,\text{mA}$

$\tau = \dfrac{L}{R_T} = \dfrac{0{,}5}{120} \approx 4{,}17\,\text{ms}$

$i(2\tau) = I_p(1-e^{-2}) = 0{,}1 \times (1 – 0{,}135) \approx 86{,}5\,\text{mA}$

$E_{e,max} = \dfrac{1}{2}L I_p^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times (0{,}1)^2 = 2{,}5\,\text{mJ}$

Exemple 2 — Lecture graphique de τ

Un oscilloscope montre que le courant dans un circuit RL atteint $0{,}63 \times I_p = 315\,\text{mA}$ à $t = 2\,\text{ms}$. La résistance totale est $R_T = 50\,\Omega$.

Trouver $\tau$, $L$, $I_p$ et $E$.

Par définition : $i(\tau) = 0{,}63\,I_p$ → $\tau = 2\,\text{ms}$

$L = \tau \times R_T = 2 \times 10^{-3} \times 50 = 0{,}1\,\text{H}$

$I_p = \dfrac{315}{0{,}63} = 500\,\text{mA} = 0{,}5\,\text{A}$

$E = I_p \times R_T = 0{,}5 \times 50 = 25\,\text{V}$

Exemple 3 — Annulation du courant

Dans le même circuit de l’exemple 1, on ouvre K à $t = 0$ alors que $I_0 = 100\,\text{mA}$. Calculer $i$ et $u_L$ à $t = \tau$.

$i(\tau) = I_0\,e^{-1} = 0{,}1 \times 0{,}368 \approx 36{,}8\,\text{mA}$

$u_R(\tau) = R_T \times i(\tau) = 120 \times 0{,}0368 \approx 4{,}4\,\text{V}$

$u_L(\tau) = -u_R(\tau) \approx -4{,}4\,\text{V}$
(La bobine restitue son énergie avec une tension négative)

Instant	\(i(t)\)	\(u_R(t)\)	\(u_L(t)\)	Interprétation
\(t = 0\)	\(0\)	\(0\)	\(E\)	Tout le voltage est absorbé par la bobine ; le courant ne peut pas sauter
\(t = \tau\)	\(0{,}63\,I_p\)	\(0{,}63\,E\cdot\frac{R}{R_T}\)	\(0{,}37\,E\)	Le courant a atteint 63 % de sa valeur finale
\(t = 5\tau\)	\(\approx I_p\)	\(\approx E\cdot\frac{R}{R_T}\)	\(\approx 0\)	Régime permanent : courant constant, bobine = résistance \(r\)
\(t \to \infty\)	\(I_p = \frac{E}{R_T}\)	\(E\cdot\frac{R}{R_T}\)	\(E\cdot\frac{r}{R_T}\)	État final — courant de plateau

Instant	\(i(t)\)	\(u_R(t)\)	\(u_L(t)\)
\(t = 0\)	\(I_0\)	\(E\cdot\frac{R}{R_T}\)	\(-E\cdot\frac{R}{R_T}\)
\(t = \tau\)	\(0{,}37\,I_0\)	\(0{,}37\,E\cdot\frac{R}{R_T}\)	\(-0{,}37\,E\cdot\frac{R}{R_T}\)
\(t \to \infty\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)

	Établissement \(\left[i(t) = I_p(1-e^{-t/\tau})\right]\)	Annulation \(\left[i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\right]\)
Méthode 1	À \(t = \tau\) : \(i = 0{,}63\,I_p\) → lire l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}63\,I_p\)	À \(t = \tau\) : \(i = 0{,}37\,I_0\) → lire l’abscisse correspondant à l’ordonnée \(0{,}37\,I_0\)
Méthode 2	Tracer la tangente en \(t=0\) : elle coupe la droite \(i = I_p\) en \(t = \tau\)	Tracer la tangente en \(t=0\) : elle coupe l’axe des abscisses en \(t = \tau\)

Grandeur	Établissement (fermeture K)	Annulation (ouverture K)
Condition initiale	\(i(0) = 0\)	\(i(0) = I_0 = E/R_T\)
Équation différentielle	\(\tau\dfrac{di}{dt} + i = I_p\)	\(\tau\dfrac{di}{dt} + i = 0\)
Solution \(i(t)\)	\(I_p\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\)	\(I_0\,e^{-t/\tau}\)
\(u_R(t)\)	\(E\dfrac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\)	\(E\dfrac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau}\)
\(u_L(t)\)	\(E\!\left[1-\dfrac{R}{R_T}\!\left(1-e^{-t/\tau}\right)\right]\)	\(-E\dfrac{R}{R_T}\,e^{-t/\tau}\)
Valeur à \(t=0\)	\(i=0\), \(u_L=E\)	\(i=I_0\), \(u_L=-E R/R_T\)
Valeur à \(t\to\infty\)	\(i=I_p\), \(u_L=Er/R_T\)	\(i=0\), \(u_L=0\)
Constante \(\tau\)	\(\tau = \dfrac{L}{R_T} = \dfrac{L}{R+r}\)

Moment	Énergie \(E_e\)	Commentaire
\(t = 0\)	\(0\)	Bobine déchargée, pas de courant
\(t = \tau\)	\(\frac{1}{2}L\,(0{,}63\,I_p)^2 \approx 0{,}40\,E_{e,max}\)	40 % de l’énergie maximale
\(t \to \infty\)	\(\dfrac{1}{2}L\,I_p^2 = \dfrac{L\,E^2}{2R_T^2}\)	Énergie maximale stockée

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Chapitre 7 — Dipôle RL