Mouvement accéléré, décéléré et uniforme
Cinématique – Mouvement accéléré, décéléré et uniforme
2.3 Mouvement accéléré, décéléré et uniforme
L’accélération et la décélération est une description de la variation de la vitesse (augmentation ou diminution).
Pour cela, on étudie le signe de \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) tel que :
- • Si \(\vec{v} \cdot \vec{a} > 0\) : alors le mouvement est accéléré.
- • Si \(\vec{v} \cdot \vec{a} < 0\) : alors le mouvement est décéléré.
- • Si \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 0\) : alors le mouvement est uniforme.
Schéma :
📐 Représentation des mouvements
G ─────────────────────────────────────►
↑
│ mouvement accéléré
│ \( \vec{v} \cdot \vec{a} > 0 \)
↓
G’ ─────────────────────────────────────►
│
│ mouvement décéléré
│ \( \vec{v} \cdot \vec{a} < 0 \)
↓
G ─────────────────────────────────────►
↑
│ mouvement accéléré
│ \( \vec{v} \cdot \vec{a} > 0 \)
↓
G’ ─────────────────────────────────────►
│
│ mouvement décéléré
│ \( \vec{v} \cdot \vec{a} < 0 \)
↓
\( \vec{v} \) → vecteur vitesse
\( \vec{a} \) → vecteur accélération
\( \vec{a} \) → vecteur accélération
💡 Rappel : Le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) permet de déterminer si la vitesse augmente ou diminue :
- Même sens (\(\vec{v} \cdot \vec{a} > 0\)) → la vitesse augmente → mouvement accéléré
- Sens opposés (\(\vec{v} \cdot \vec{a} < 0\)) → la vitesse diminue → mouvement décéléré
- Perpendiculaires (\(\vec{v} \cdot \vec{a} = 0\)) → la vitesse reste constante en norme → mouvement uniforme
📝 Exercice d’application
Énoncé
Un mobile se déplace sur une trajectoire rectiligne. On donne les vecteurs vitesse et accélération dans les différents cas suivants :
| Cas | Vecteur vitesse \(\vec{v}\) (m/s) | Vecteur accélération \(\vec{a}\) (m/s²) |
|---|---|---|
| Cas 1 | \( \vec{v} = 5\vec{i} \) | \( \vec{a} = 2\vec{i} \) |
| Cas 2 | \( \vec{v} = 10\vec{i} \) | \( \vec{a} = -3\vec{i} \) |
| Cas 3 | \( \vec{v} = -8\vec{i} \) | \( \vec{a} = -4\vec{i} \) |
| Cas 4 | \( \vec{v} = 6\vec{i} \) | \( \vec{a} = 0\vec{i} \) |
| Cas 5 | \( \vec{v} = 4\vec{i} \) | \( \vec{a} = 1\vec{j} \) |
Questions :
- Calculer le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) pour chaque cas.
- Déterminer pour chaque cas la nature du mouvement (accéléré, décéléré ou uniforme).
- Pour le cas 2, si la vitesse initiale est \(v_0 = 10 \, m/s\), quelle sera la vitesse après \(t = 4 \, s\) ?
- Pour le cas 5, expliquer pourquoi le mouvement est uniforme en norme mais pas rectiligne.
✅ Solution détaillée
1. Calcul du produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) :
| Cas | Calcul | \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) | Signe | Nature du mouvement |
|---|---|---|---|---|
| Cas 1 | \(5 \times 2 = 10\) | \(+10\) | > 0 | Accéléré |
| Cas 2 | \(10 \times (-3) = -30\) | \(-30\) | < 0 | Décéléré |
| Cas 3 | \((-8) \times (-4) = 32\) | \(+32\) | > 0 | Accéléré |
| Cas 4 | \(6 \times 0 = 0\) | \(0\) | = 0 | Uniforme |
| Cas 5 | \(4 \times 0 + 0 \times 1 = 0\) | \(0\) | = 0 | Uniforme (en norme) |
2. Nature du mouvement :
- Cas 1 : \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) ont le même sens → mouvement accéléré.
- Cas 2 : \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) sont de sens opposés → mouvement décéléré.
- Cas 3 : Le mobile se déplace vers la gauche (\(v_x < 0\)) mais l'accélération est aussi vers la gauche → la vitesse augmente en valeur absolue → mouvement accéléré.
- Cas 4 : \(\vec{a} = \vec{0}\) → vitesse constante → mouvement uniforme rectiligne.
- Cas 5 : \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 0\) → la norme de la vitesse est constante, mais la trajectoire n’est pas rectiligne (accélération perpendiculaire à la vitesse → mouvement circulaire ou parabolique).
3. Pour le cas 2 :
Mouvement rectiligne uniformément varié : \( v(t) = v_0 + a \cdot t \)
\[ v(4) = 10 + (-3) \times 4 = 10 – 12 = -2 \, m/s \]
Après 4 secondes, le mobile a changé de sens (vitesse négative).
4. Pour le cas 5 :
Le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{a} = 0\) signifie que l’accélération est perpendiculaire à la vitesse.
L’accélération ne modifie donc pas la norme de la vitesse, mais uniquement sa direction.
Le mouvement est uniforme (vitesse constante en norme) mais la trajectoire n’est pas rectiligne (exemple : mouvement circulaire uniforme).
📊 Tableau récapitulatif
| Signe de \(\vec{v} \cdot \vec{a}\) | Nature du mouvement | Variation de la vitesse |
|---|---|---|
| \(>\) 0 | Accéléré | La vitesse augmente |
| \(<\) 0 | Décéléré | La vitesse diminue |
| \(=\) 0 | Uniforme | La vitesse reste constante en norme |