Pendule pesant – étude complète
Pendule pesant
2.3 Pendule pesant
Exemples : balançoire, réglette métallique suspendue, pendule composé, pendule de physiciens.
Système étudié : { le solide (S) }
Référentiel : terrestre supposé galiléen.
Bilan des forces :
- \(\vec{P}\) : poids du solide, appliqué au centre de gravité G.
- \(\vec{R}\) : réaction de l’axe de rotation \(\Delta\) (force de liaison).
On applique la relation fondamentale de la dynamique pour la rotation autour de l’axe \(\Delta\) fixe :
- \( M_{\Delta}(\vec{R}) = 0 \) car la droite d’action de \(\vec{R}\) passe par l’axe \(\Delta\) (moment nul).
- \( M_{\Delta}(\vec{P}) = – \,P \cdot HG = -\, m\,g\,d \;\sin\theta \)
\(d = HG\) : distance entre l’axe de rotation \(\Delta\) et le centre de gravité G.
Le signe négatif traduit le caractère rappel : le poids tend à ramener G vers la verticale.
Soit :
L’équation différentielle devient alors linéaire :
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique angulaire de pulsation propre \(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,d}{J_{\Delta}}}\).
La solution générale de \(\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0\) est une fonction sinusoïdale :
- \(\theta_m\) : amplitude angulaire (rad) – dépend des conditions initiales.
- \(T_0\) : période propre des petites oscillations (s).
- \(\varphi\) : phase à l’origine (rad).
Par analogie avec le pendule de torsion (ou avec l’oscillateur harmonique \(\ddot{\theta} + \omega_0^2\theta = 0\)), on a :
avec :
- \(J_{\Delta}\) : moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation (kg·m²).
- \(m\) : masse totale du pendule (kg).
- \(d = HG\) : distance entre l’axe et le centre de gravité (m).
- \(g\) : intensité de la pesanteur (N/kg ou m/s²).
Pour un pendule simple constitué d’une masse \(m\) suspendue à un fil de longueur \(L\) (masse du fil négligeable), on a :
\(J_{\Delta} = m L^2\) et \(d = L\).
Alors \( T_0 = 2\pi \sqrt{\dfrac{m L^2}{m g L}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}} \).
On retrouve la formule classique du pendule simple (petites oscillations).
📐 Exemple numérique :
Une tige homogène de masse \(m = 0,500\ \text{kg}\), de longueur \(L = 1,00\ \text{m}\), oscillant autour d’un axe passant par une extrémité. Moment d’inertie \(J = \frac{1}{3}m L^2 = \frac{1}{3}\times 0,5\times 1^2 = 0,1667\ \text{kg·m}^2\). Distance \(d = L/2 = 0,50\ \text{m}\) (centre de gravité au milieu).
\(T_0 = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,1667}{0,5 \times 9,8 \times 0,5}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{0,1667}{2,45}} = 2\pi \sqrt{0,06803} \approx 2\pi \times 0,261 \approx 1,64\ \text{s}\).
Pour la même tige suspendue à son extrémité, la période est plus grande que celle d’un pendule simple de même longueur (\(T_{simple} = 2\pi\sqrt{1/9,8} \approx 2,01\ \text{s}\)) ? Non : ici la tige a une période plus courte (car le moment d’inertie est plus petit que \(m L^2\) ? Attention : \(J = mL^2/3\) et \(d = L/2\) → \(T=2\pi\sqrt{(2L)/(3g)}\) ≈ 1,64 s , pendule simple de longueur L ≈ 2,01 s. Effet de répartition).