Systèmes mécaniques oscillants
Systèmes mécaniques oscillants
1 Systèmes mécaniques oscillants
Oscillateur mécanique : est un mobile qui effectue un mouvement de va-et-vient autour de sa position d’équilibre stable.
1.1 Exemples d’oscillateurs mécaniques
- Le pendule élastique : il est constitué d’un corps solide de masse \(m\) suspendu à un ressort à spires non jointives.
- Le pendule pesant : est tout corps solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre de gravité.
- Le pendule simple : il est constitué d’un corps solide de masse \(m\) suspendu à l’extrémité d’un fil inextensible.
- Le pendule de torsion : est constitué d’une barre horizontale, fixée à l’extrémité d’un fil de torsion.
1.2 Caractéristiques du mouvement oscillatoire
Un mouvement oscillatoire est caractérisé par :
- ☞ La position d’équilibre stable : c’est la position à laquelle le système tend à revenir lorsqu’on l’éloigne légèrement.
- ☞ La période propre \(T_0\) : c’est le temps nécessaire pour effectuer une oscillation.
- ☞ L’amplitude : c’est la valeur maximale positive que prend la grandeur qui exprime le décalage ou l’inclinaison de l’oscillateur de sa position d’équilibre.
1.3 Amortissement des oscillations mécaniques
L’amortissement d’un système est une atténuation de l’amplitude à cause du frottement.
- ✍ Frottement fluide : frottement qui se fait entre l’oscillateur et un corps fluide (atténuation non linéaire).
- ✍ Frottement solide : frottement qui se fait entre l’oscillateur et un corps solide (atténuation linéaire).
On distingue trois régimes :
Pas de frottement
\(T_0\) : La période propre
Faible amortissement
La pseudo-période : \(T \approx T_0\)
Fort amortissement
Pas d’oscillations
2 Étude de systèmes mécaniques oscillants
2.1 Pendule élastique
Un pendule élastique, ou système (solide-ressort), est constitué d’un solide, de masse \(m\), fixé à un ressort.
a. Équation différentielle du mouvement
Système étudié : {le solide (S)}
Bilan des forces : Le solide (S) est soumis à l’action de :
- \(\overrightarrow{P}\) : son poids
- \(\overrightarrow{R}\) : la réaction du plan
- \(\overrightarrow{T}\) : la force de rappel du ressort : \(\overrightarrow{T} = -k \cdot x \cdot \overrightarrow{i}\)
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la 2ème loi de Newton :
Projection sur l’axe (Ox) :
L’équation différentielle du mouvement est donc :
b. Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)
La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
- \(x(t)\) : l’élongation du ressort exprimée en (m) ;
- \(X_m\) : l’amplitude exprimée en (m) ;
- \(T_0\) : la période propre des oscillations, exprimée en (s) ;
- \(\varphi\) : la phase à l’origine, exprimée en (rad).
c. Expression de la période propre \(T_0\)
En dérivant deux fois l’expression \(x(t) = X_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\) :
Donc : \(\ddot{x} = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot x\)
En remplaçant \(\ddot{x}\) dans l’équation différentielle :
Exercice d’application
On considère un pendule élastique vertical formé d’un ressort de spires non jointives et de raideur \(k = 20\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}\) et un solide (S) de masse \(m = 200\ \text{g}\). On écarte le solide verticalement vers le bas d’une distance de \(3\ \text{cm}\), puis on le libère sans vitesse initiale.
On considère un repère \((O, \overrightarrow{i})\) vertical dirigé vers le bas, son origine O est confondue avec le centre d’inertie du solide (S) à l’équilibre.
À l’instant \(t = 0\), le solide (S) passe par sa position d’équilibre stable \(G_0\) dans le sens positif.
On donne : \(g = 10\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}\).
- Exprimer l’élongation du ressort \(\Delta \mathcal{l}_{éq}\) à l’équilibre.
- Déterminer l’équation différentielle du mouvement.
- Déterminer l’équation horaire du mouvement.
- Calculer la période propre et la fréquence propre du mouvement de l’oscillateur.
2.2 Pendule de torsion
Le pendule de torsion est constitué d’un fil de torsion et d’une tige horizontale. Lorsqu’on écarte la tige de sa position d’équilibre, elle oscille autour de sa position d’équilibre.
On repère les positions de la tige à chaque instant par l’abscisse angulaire \(\theta\).
a. Moment du couple de torsion
Quand une tige tourne autour de l’axe du fil, le fil réagit à la torsion en exerçant des forces de rappel équivalentes à un couple de moment :
- \(\mathcal{M}_C\) : moment du couple de torsion (N·m) ;
- \(\theta\) : l’angle de rotation (rad) ;
- \(C\) : constante de torsion dépendant du fil (N·m·rad\(^{-1}\)).
b. Équation différentielle du mouvement
Système étudié : {la tige}
Bilan des forces : La tige est soumise à l’action de :
- \(\overrightarrow{P}\) : son poids
- \(\overrightarrow{R}\) : la tension du fil
- Couple de torsion de moment \(\mathcal{M}_C\)
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :
Puisque la direction de \(\overrightarrow{P}\) et \(\overrightarrow{R}\) est confondue avec l’axe de rotation (\(\Delta\)), alors :
Alors : \(-C \cdot \theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}\)
L’équation différentielle du mouvement est donc :
c. Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)
La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
- \(\theta_m\) : l’amplitude, exprimée en (rad) ;
- \(T_0\) : la période propre des oscillations, exprimée en (s) ;
- \(\varphi\) : la phase à l’origine, exprimée en (rad).
d. Expression de la période propre \(T_0\)
Par analogie avec le pendule élastique, on trouve :
2.3 Pendule pesant
On appelle pendule pesant tout solide mobile autour d’un axe ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de pesanteur.
a. Équation différentielle du mouvement
Système étudié : {le solide (S)}
Bilan des forces : Le solide (S) est soumis à l’action de :
- \(\overrightarrow{P}\) : son poids
- \(\overrightarrow{R}\) : la réaction de l’axe de rotation (\(\Delta\))
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :
\(\mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{R}) = 0\) car sa droite d’action passe par l’axe de rotation.
Donc : \(-mgd \cdot \sin\theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}\)
Dans le cas des petites oscillations (\(\theta \leq 15^\circ\) c-à-d \(\theta \leq 0,26\ \text{rad}\)), on peut écrire : \(\sin\theta \approx \theta\).
L’équation différentielle du mouvement est donc :
b. Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)
c. Expression de la période propre \(T_0\)
Par analogie avec le pendule de torsion, on trouve :
2.4 Pendule simple
Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable, et oscillant sous l’effet de la pesanteur.
a. Équation différentielle du mouvement
Système étudié : {le solide (S)}
Bilan des forces : Le solide (S) est soumis à l’action de :
- \(\overrightarrow{P}\) : son poids
- \(\overrightarrow{T}\) : la réaction du fil
Dans un référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique :
\(\mathcal{M}_\Delta(\overrightarrow{T}) = 0\) car sa droite d’action passe par l’axe de rotation.
Donc : \(-mg\mathcal{l} \cdot \sin\theta = J_\Delta \cdot \ddot{\theta}\)
Dans le cas des petites oscillations (\(\theta \leq 15^\circ\) c-à-d \(\theta \leq 0,26\ \text{rad}\)), on peut écrire : \(\sin\theta \approx \theta\).
Et puisque \(J_\Delta = m\mathcal{l}^2\), l’équation différentielle du mouvement est donc :
b. Solution de l’équation différentielle (équation horaire du mouvement)
c. Expression de la période propre \(T_0\)
Par analogie avec le pendule de torsion, on trouve :
\([T_0] = \left[\sqrt{\frac{\mathcal{l}}{g}}\right] = \sqrt{\frac{L}{L \cdot T^{-2}}} = T\)
Donc la période \(T_0\) a la dimension d’un temps, elle s’exprime en (s).
3 Phénomène de résonance mécanique
3.1 Oscillations forcées
Les frottements agissent sur les oscillations mécaniques et leur mouvement devient amorti. On peut entretenir leur mouvement en récompensant l’énergie dissipée par une méthode convenable à l’oscillateur.
On lie l’oscillateur avec un appareil qui lui fournit l’énergie nécessaire pour que son mouvement soit entretenu. Cet appareil s’appelle : l’excitateur, qui est un système ayant un mouvement oscillatoire qui impose sa période \(T_e\) à l’oscillateur qui s’appelle (résonateur) et le mouvement de ce dernier devient forcé.
3.2 Résonance mécanique
Dans cet exemple, le pendule joue le rôle du résonateur, sa fréquence propre est \(f_0\) alors que le moteur joue le rôle de l’excitateur, sa fréquence est \(f_e\).
En liant l’oscillateur mécanique avec le moteur, il s’oblige d’osciller avec une fréquence égale à celle du moteur.
En faisant varier la fréquence du moteur, on obtient la plus grande amplitude du résonateur lorsque la fréquence du moteur (excitateur) est égale à la fréquence propre du pendule élastique (résonateur). On dit qu’il y a résonance.
À la résonance, on a :
- Si l’amortissement est faible, le phénomène de résonance est plus clair (la résonance est aiguë).
- Si l’amortissement est fort, le phénomène de résonance est flou.
