Lois de Newton

Lois de Newton

Lois de Newton

i.Repérage d’un point d’un mobile

1)  Vecteur position

La position du centre d’inertie G d’un système (S) est repérée à chaque instant par le vecteur position $\overrightarrow{OG}$

Dans un repère cartésien : $\overrightarrow{OG}=x\,\vec i+y\,\vec j+z\,\vec k$

  • Le module du vecteur position : $\|\overrightarrow{OG}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

2)  Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse instantanée du centre d’inertie G du solide est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

$\overrightarrow{V_G}=\dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$

ZYX (S)G zyx O j⃗i⃗k⃗

$\overrightarrow{V_G}=\dfrac{dx}{dt}\vec i+\dfrac{dy}{dt}\vec j+\dfrac{dz}{dt}\vec k=V_x\vec i+V_y\vec j+V_z\vec k=\dot x\,\vec i+\dot y\,\vec j+\dot z\,\vec k$

  • Le module du vecteur vitesse : $\|\overrightarrow{V_G}\|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}$

3)  Vecteur accélération

Le vecteur accélération instantanée du centre d’inertie G du solide est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :

$\overrightarrow{a_G}=\dfrac{d\overrightarrow{V_G}}{dt}=\dfrac{d^2\overrightarrow{OG}}{dt^2}$

$\overrightarrow{a_G}=\dfrac{d^2x}{dt^2}\vec i+\dfrac{d^2y}{dt^2}\vec j+\dfrac{d^2z}{dt^2}\vec k=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k=\ddot x\,\vec i+\ddot y\,\vec j+\ddot z\,\vec k$

Le module du vecteur accélération : $\|\overrightarrow{a_G}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

4)  La base locale de Frénet

La base de Frénet est un repère mobile lié au mouvement du point M, son origine est le point M et ses vecteurs unitaires sont :

$\vec u$ : Tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement

$\vec n$ : Normal à la trajectoire et dirigé vers l’intérieure de la concavité de la trajectoire

L’accélération dans la base de Frénet :

$\overrightarrow{a_G}=a_T\,\vec u+a_N\,\vec n\ \ \text{avec}\ \begin{cases}a_T=\dfrac{dV}{dt}&\text{: accélération tangentielle}\\[4pt] a_N=\dfrac{V^2}{\rho}&\text{: accélération normale}\end{cases}$

Avec $\rho$ le rayon de courbure de la trajectoire au point M

Remarque

Dans le cas où la trajectoire est circulaire on a : $\rho=R$

M u⃗n⃗ a⃗Ta⃗Na⃗G

5)  Référentiels galiléens

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton (principe d’inertie) est vérifiée

Remarque

Si R est un référentiel galiléen, tout référentiel R’ en translation rectiligne uniforme par rapport à R est un référentiel galiléen

COURS  2BAC PC
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ii.Les lois de Newton

1)  La 1ère loi de Newton (principe d’inertie)

Énonce : dans un référentiel galiléen lorsque un système est isolé ou pseudo-isolé alors son centre d’inertie est immobile ou animé d’un mouvement rectiligne uniforme :  $\sum\overrightarrow{F_{ext}}=\vec 0\iff\begin{cases}\vec V=\overrightarrow{Cte}\\ \vec V=\vec 0\end{cases}$

2)  La 2ème loi de Newton (principe fondamentale de la dynamique)

Enoncé : dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures exercées sur un système est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération $\overrightarrow{a_G}$   $m\,\overrightarrow{a_G}=\sum\overrightarrow{F_{ext}}$

3)  La 3ème loi de Newton (principe d’action et de réaction)

Enoncé : La force $\overrightarrow{F_{A/B}}$ exercée par un système A sur un système B et la force $\overrightarrow{F_{B/A}}$ exercée par le système B sur un système A ont les mêmes valeurs, mêmes directions et des sens opposés  $\overrightarrow{F_{B/A}}=-\overrightarrow{F_{A/B}}$

iii.Mouvement rectiligne uniformément varié

1)  Définition

Le mouvement du centre d’inertie G d’un corps solide est rectiligne uniformément varié, si la trajectoire de G est rectiligne et le vecteur accélération est constante   $\overrightarrow{a_G}=\overrightarrow{cte}$

2)  Les équations horaires du mouvement

On considère un mouvement rectiligne uniformément varié : $\overrightarrow{a_G}=\overrightarrow{cte}$

On suppose que le mouvement s’effectue selon l’axe $(Ox)$ :   $a_x=cte$

  • L’équation horaire de la vitesse $V_x(t)$ est :  $V_x(t)=a_x\cdot t+V_{x0}$
  • L’équation horaire de l’abscisse $x(t)$ est :  $x(t)=\dfrac12 a_x t^2+V_{x0}\,t+x_0$

iv.Application

Un skieur de masse m et de centre d’inertie G part à $t_0=0$ au point A avec une vitesse initiale $V_0$.

Partie AB : les frottements sont négligeables

Le système étudie : (Le skieur)

  • Les forces exercées :

Le poids $\vec P=m\,\vec g$
La réaction du plan $\vec R$

  • On applique la 2éme loi de newton :

$m\,\overrightarrow{a_G}=\sum\overrightarrow{F_{ext}}\iff m\,\overrightarrow{a_G}=\vec P+\vec R$

ABCi⃗Gβ

Par projection sur l’axe $(Ox)$ :  $m\,a_x=m\,g\sin\beta+0\iff$ l’accélération :  $a_x=g\sin\beta$

L’équation horaire du mouvement est :  $x(t)=\dfrac{g\sin\beta}{2}\,t^2+V_0\,t+x_A$

Partie BC : le mouvement se fait avec frottement

Les frottements équivalents à une force horizontale d’intensité $f=R_T$ constante et de sens opposé au sens du mouvement

  • Les forces exercées sur le skieur dans la partie BC

Le poids $\vec P=m\,\vec g$
La réaction du plan $\vec R$

  • On applique la 2éme loi de newton   $m\,\overrightarrow{a_G}=\sum\overrightarrow{F_{ext}}\iff m\,\overrightarrow{a_G}=\vec P+\vec R$

Projection sur l’axe $(Ox)$  :   $m\,a_x=0-f\iff$ l’accélération :  $a_x=-\dfrac{f}{m}$

  • L’équation horaire du mouvement :   $x(t)=-\dfrac{f}{2m}\,t^2+V_B\,t+x_B$
COURS  2BAC PC
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📚 D'autres cours : A10: Lois de Newton 1+4h