Résumé : Décroissance radioactive

Décroissance radioactive
Décroissance radioactive2bacf

1-Transformation nucléaires :

a)-Composition d’un noyau :
$^A_ZX$  A : nombre de nucléons
     Z : nombre de protons
     N : Le nombre de neutrons

N=A−Z

b)- nucléide :
est un noyau ayant Z protons et N neutrons de symbole $^A_ZX$

c)- Isotopes
Des noyaux ayant même nombre de protons Z et A différents
Exemple : $^{12}_{6}C$ ; $^{13}_{6}C$ ; $^{14}_{6}C$

d)- Le noyau radioactif :
est un noyau instable qui (transforme) se désintègre spontanément en un noyau plus stable avec émission d’une particule

noyau père → noyau fils + particule
$^A_ZX\ \to\ ^{A_1}_{Z_1}Y\ +\ ^{A_2}_{Z_2}P$

Lois de conservations (lois de Soddy)
conservation de : A = $A_1$ + $A_2$
conservation de : Z = $Z_1$ + $Z_2$

e)-Equation des désintégrations :
• La radioactivité α:

$^A_ZX\ \to\ ^{A-4}_{Z-2}Y\ +\ ^4_2He$
Ex : $^{210}_{84}Po\ \to\ ^{206}_{82}Pb+^4_2He$
– Les noyaux lourds A>200

• La radioactivité β⁻:

$^A_ZX\ \to\ ^{A}_{Z+1}Y\ +\ ^{\ 0}_{-1}e^-$
Ex : $^{60}_{27}Co\ \to\ ^{60}_{28}Ni+^{\ 0}_{-1}e^-$
noyaux ayant excès de neutron N>Z
-mécanisme : $^1_0n\ \to\ ^1_1p+^{\ 0}_{-1}e^-$
-un neutron se transforme en proton

• La radioactivité β⁺:

$^A_ZX\ \to\ ^{\ A}_{Z-1}Y\ +\ ^0_1e$
Ex : $^{13}_{7}N\ \to\ ^{13}_{6}C+^0_1e^+$
noyaux ayant excès de proton Z>N
-mécanisme : $^1_1p\ \to\ ^1_0n+^{\ 0}_{+1}e$
proton se transforme en neutron

• Radioactivité γ:

$^A_ZY^*\ \to\ ^A_ZY\ +\ \gamma$
Ex : $^{16}_{7}N\ \to\ ^{16}_{8}O^*+^{\ 0}_{-1}e^-$
      $^{16}_{8}O^*\ \to\ ^{16}_{8}O+\gamma$
émission d’un rayonnement gamma
-Y* :noyau fils dans un état excité

f)- le diagramme de Segré

Figure
Symbole de $^A_ZY$
A=16+16
$^A_ZY=\ ^{32}_{16}S$
Symbole de $^{A’}_{Z’}X$
A=15+15
$^{A’}_{Z’}X=\ ^{30}_{15}P$

équation d’une désintégration :
$^{32}_{15}P\ \to\ ^{32}_{16}S+\ ^{\ 0}_{-1}e$  (loi de Soddy) ⇒ β⁻

•famille radioactive :

Ensemble de nudéides descendant d’un même noyau père par une suite de désintégrations
Pour déterminer x et y :
$^A_ZX\ \to\ ^{A’}_{Z’}Y+x\,^4_2He+y\,^{\ 0}_{-1}e^-$
$\begin{cases}A=A’+4x+0.y\\Z=Z’+2x-y\end{cases}$

2 la loi de décroissance :

$N(t)=N_0.e^{-\lambda.t}$$N_0=N+N’$
N: nombre de noyaux restant
N’:nombre de noyaux désintégrés
λ : la constante radioactive (en $s^{-1}$)

a) constante de temps τ: $\tau=\dfrac1\lambda$

À l’instant $t=\tau$ : $N(\tau)=0{,}37N_0$

b)Temps de demi-vie $t_{1/2}$ :

la durée pour que la moitié de l’échantillon se désintégre  $N=N_0/2$

Figure

$N=N_0e^{-\lambda.t}\to\dfrac12=e^{-\lambda.t_{1/2}}\Rightarrow\ t_{1/2}=\dfrac{Ln(2)}{\lambda}$

$\lambda=\dfrac{Ln(2)}{t_{1/2}}$$\tau=\dfrac1\lambda$$t_{1/2}=\tau.Ln(2)$

c)Activité a d’un échantillon :

est le nombre de désintégration par unité de temps.
$a(t)=\dfrac{-dN}{dt}$   en becquerel (Bq)
1Bq :1 désintégration par seconde
Remarque : 600 désintégration par munit équivalente a :
$a=\dfrac{-dN}{dt}=\dfrac{600}{60}=10Bq$

$a=a_0e^{-\lambda t}$$a_0=\lambda.N_0$
Bq  ($s^{-1}$)		$a=\lambda.N$

•autre expressions de la loi :

$m(t)=m_0e^{-\lambda t}$$n(t)=n_0e^{-\lambda t}$
$n=\dfrac mM=\dfrac N{N_A}$$N=\dfrac{m(\text{échantillon})}{m(\text{noyau})}$

d)La datation par la radioactivité :

$t=-\dfrac1\lambda.\ln\!\left(\dfrac{a_{mort}}{a_{vivant}}\right)=-\dfrac{t_{1/2}}{\ln(2)}.\ln\!\left(\dfrac{a_{mort}}{a_{vivant}}\right)$

La désintégration de 30% alors reste 70%
$\dfrac N{N_0}=0{,}7\to0{,}7=e^{-\lambda.t}\Rightarrow t=-\dfrac{Ln(0{,}7)}{\lambda}$
La désintégration du tiers 1/3 alors reste 2/3
$\dfrac N{N_0}=\dfrac23\to\dfrac23=e^{-\lambda.t}\Rightarrow t=-\dfrac{Ln(2/3)}{\lambda}$

e)Déterminat de λ à partir des courbes

1er cas :

$\begin{cases}-\ln\dfrac N{N_0}=At\\-\ln\dfrac N{N_0}=\lambda t\end{cases}$
$A=\lambda=\dfrac{0{,}7}{18}$
Figure

2eme cas :

$\begin{cases}\ln N=At+B\\\ln N=-\lambda t+\ln N_0\end{cases}$
$A=-\lambda$ et $B=\ln N_0$
$-\lambda=\dfrac{37{,}65-37{,}94}{3-0}$
$B=\ln N_0=37{,}94$
Figure

Détermination de λ à partir de($a_2$ et $a_1$) :

$a_1=a_0e^{-\lambda t_1}$
$a_2=a_0e^{-\lambda t_2}$		$\dfrac{a_1}{a_2}=e^{\lambda(t_2-t_1)}$

détermination de N a partir de n $t_{1/2}$

$N=N_0.e^{-\lambda.t}\ \to\ N=N_0.e^{-\frac{Ln(2)}{t_{1/2}}.nt_{1/2}}$
$N=\dfrac{N_0}{2^n}$$N’=N_0-N\to N’=N_0\left(1-\dfrac1{2^n}\right)$

datation par deux éléments :
Exemple :U se transforme en Pb : U-Pb
⇒ $N_U=N_0.e^{-\lambda.t}$ avec $N_0=N_U+N_{Pb}$
$t=\dfrac{t_{1/2}}{\ln(2)}.\ln\!\left(\dfrac{N_0}{N_U}\right)$
$\dfrac{N_0}{N_U}=\dfrac{N_U+N_{Pb}}{N_U}=\left(1+\dfrac{N_{Pb}}{N_U}\right)$
⇒ $t=\dfrac{t_{1/2}}{\ln(2)}.\ln\!\left(1+\dfrac{N_{Pb}}{N_U}\right)$

$N_U=\dfrac mMN_A$ et $N_{Pb}=\dfrac{m’}{M’}N_A\Rightarrow\dfrac{N_{Pb}}{N_U}=\dfrac{m’}{M’}.\dfrac Mm$
Cas d’un gaz : $N=\dfrac V{V_m}N_A$

Le volume V :

$N_1\to V_1$ et $N_2\to V_2$$N_1.V_2=N_2.V_1$

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