Résumé : Le dipôle RL

Le dipôle RL

Le dipôle RL2Bac

1-La bobine :
a) Tension aux bornes de la bobine :

	$u_L=ri+L.\dfrac{di}{dt}$
r = résistance interne (Ω) L= inductance de la bobine (H)

◆ Cas particuliers :
* Courant continu : $\dfrac{di}{dt}=0\ \to\ \boxed{u_L=r.i}$
Elle se comporte comme un conducteur ohmique
*si r=0 bobine idéale $u_L=L.\dfrac{di}{dt}$

b) Influence d’une bobine sur un circuit :

◆ la lampe $L_2$ s’allume et s’éteinte après $L_1$
La bobine retarde l’établissement et la rupture de courant

c)l’énergie magnétique emmagasinée

$E_m=\dfrac12Li^2$

$i=\dfrac{u_R}R$

$E_m=\dfrac12\dfrac L{R^2}u_R^2$

2- Etablissement de courant :

a) l’équation différentielle de i

$L.\dfrac{di}{dt}+ri+Ri=E\ \Leftarrow\ u_L+u_R=E$

$\dfrac L{R_t}.\dfrac{di}{dt}+i=\dfrac E{R_t}\ \Leftarrow\ L.\dfrac{di}{dt}+(R+r)i=E$

L’équation différentielle de $u_R$

$\dfrac L{R+r}.\dfrac{dRi}{dt}+Ri=\dfrac{R.E}{R+r}$
$\Rightarrow\dfrac L{R_t}.\dfrac{du_R}{dt}+u_R=\dfrac{R.E}{R+r}$

b) Solution de l’équation différentielle :

S écrit $i(t)=A(1-e^{-t/\tau})$ on Dérive puis
On remplace -Factorisation par $Ae^{-t/\tau}$
$\Rightarrow\begin{cases}\tau=\dfrac L{R_t}\\A=\dfrac E{R_t}\end{cases}$
2^ème Cas : La solution : $i=A+Be^{-\alpha t}$
$\begin{cases}\alpha=\dfrac{R_t}L\\A=\dfrac E{R_t}\end{cases}$
On détermine B par condition Initial :
à t=0 : $i(0)=A+B\underbrace{e^0}_1$ et $i(0)=0$
$\Rightarrow A+B=0\Rightarrow B=-A=-\dfrac E{R_t}$

c)Détermination τ et Ip :

$\tau=4s$	$I_p=6mA$	$L=\tau(R+r)$
$I_p=\dfrac E{R+r}\quad\Rightarrow\quad r=\dfrac E{I_p}-R$

d) analyse Dimensionnelle τ :

$[\tau]=\dfrac{[L]}{[R]}=\dfrac{[U].[t]}{[I]}.\dfrac{[I]}{[U]}=[t]$
$[L]=\dfrac{[U].[t]}{[I]}\Leftarrow u_L=L.\dfrac{di}{dt}$
$[R]=\dfrac{[U]}{[I]}\Leftarrow u_R=R.i$

e)l’expression de $I_p$ (régime permanant)

Au régime permanant $i=cste\ \Rightarrow\ \dfrac{di}{dt}=0$
$\dfrac L{R+r}.0+i_p=\dfrac E{R+r}\Rightarrow\boxed{i_p=\dfrac E{R+r}=I_p}$

f) tension aux bornes de la bobine :

$u_L+u_R=E\ \Rightarrow\ u_L=E-u_R$
Tension $u_R$ : $u_R(t)=\dfrac{RE}{R+r}(1-e^{-t/\tau})$
$u_L=\dfrac E{R+r}\left(r+Re^{-t/\tau}\right)$

$u_R(t)$ a la même allure que i(t)
cas : ou ($r\approx0$)
$u_R=E(1-e^{-t/\tau})$ et $u_L=Ee^{-t/\tau}$

3-Rupture(Annulation) de courant :

– Le rôle de la diode élimine la surtension.

a) l’équation différentielle de i

$\dfrac L{R_t}.\dfrac{di}{dt}+i=0$

b) Solution de l’équation différentielle :

$i(t)=\dfrac E{R+r}e^{-t/\tau}$

c) tension aux bornes de la bobine ($r\neq0$)

$u_L+u_R=0\ \Rightarrow\ u_L=-u_R$
$u_L=-u_R=-R.i\Rightarrow$ $u_L=-\dfrac{RE}{R+r}e^{-t/\tau}$

Rupture de courant		Etablissement de courant
$t=\infty$	$t=0$	$t=\infty$	$t=0$
$i=0$ $u_L=0$	$i=\dfrac ER$ $u_L=-E$	$i=\dfrac ER$ $u_L=0$	$i=0$ $u_L=E$
$i=0{,}37I_p$ $t=\tau$		$i=0{,}63I_p$ $t=\tau$
i continue à t=0 $u_L$ discontinue

d)l’influence de R et L

$I_0$ et τ dépend de R	$I_0$ ne dépend pas de L et τ dépend
$I_{P2}<I_{P1}$ $\tau_2<\tau_1$	$\tau_2>\tau_1$

4-détermination de L par GBF :

$s_x=2ms/div$ ; $s_y=2v/div$ ; R=500Ω ;r=0Ω

On calcule : $L$
$u_L=-1\times s_y=-2V$
$\dfrac{du_R}{dt}=\dfrac{4\times s_y}{2\times s_x}=2000$
$L=-\dfrac{R.u_L}{\dfrac{du_R}{dt}}$
$L=0{,}5H$

Montre que :
$u_L=-\dfrac LR\dfrac{du_R}{dt}$
$u_L=L\dfrac{di}{dt}$ et $u_R=-Ri$
$u_L=L\dfrac d{dt}\left(-\dfrac{u_R}R\right)$
D’ou $u_L=-\dfrac LR\ \dfrac{du_R}{dt}$