Physique Chimie

1- étude dynamique : BAHENNI

Régime périodique : f=0
	frottement nul T0 : La période propre $T_0=2\pi\sqrt{\dfrac mk}$
Régime pseudopériodique : frott faible
frottement solide l’ampl décroît linéairement	frottement fluide l’amplitude décroît exponentiellement
Régime apériodique :
	frottement important

a) Force de rappel :

➤ Sens : (vers O position d’équilibre)
➤ Intensité : $F=k.\Delta l=k.|x|$
$k$ : Raideur du ressort ($N/m$)

$\vec F=-k.x.\vec i$   proj   $F_x=-k.x$

b-)Équation différentielle :

2^eme loi de Newton : $\vec P+\vec R+\vec T=m\vec a$

projection sur Ox : $P_x+R_x+T_x=ma_x$
$\quad-kx=m\ddot x$
$\quad\ddot x+\dfrac kmx=0$

C) La solution de l’équation diffé :

$x=X_m\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$
mvt rect oscillatoire périodique

Vitesse v_x : $\dot x=-\dfrac{2\pi}{T_0}X_m\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$

Accélér a_x : $\ddot x=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2X_m\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$

$\ddot x=-\dfrac kmx$   et   $\ddot x=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2x$

Donc $\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2=\dfrac km\ \to\ T_0=2\pi\sqrt{\dfrac mk}$

Détermination de la phase φ

$\cos\varphi=\dfrac{x(0)}{X_m}=1$ $x=X_m$
$V=0$
$x(0)=X_m\ \to\ \varphi=0$

●Exploitation des courbes :

$\dot x_m=3{,}75\,m.s^{-1}$ ; $X_m=1{,}5\,cm$
$\ddot x=-\dfrac kmx\ \to\ \dfrac km=-\dfrac{\ddot x}{x}$
$\ddot x=-\left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2x\ \to\ \left(\dfrac{2\pi}{T_0}\right)^2=\dfrac{\ddot x_m}{X_m}$

2- Etude énergétique :

Énergie cinétique   $E_C=\dfrac12mv^2=\dfrac12m\dot x^2$

Ene potentielle élastique   $E_{pe}=\dfrac12.kx^2+C$
x=0 et Epe=0  donc C=0   $E_{pe}=\dfrac12.kx^2$

Energie mécanique   $E_m=E_C+E_{pe}$

$E_C=\dfrac12k.X_m^2\sin^2\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)$
et   $\sin^2x=1-\cos^2x$

D’où : $E_C=\dfrac12k.X_m^2\left[1-\cos^2\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)\right]=$
$\dfrac12k\left[X_m^2-X_m^2\cos^2\!\left(\dfrac{2\pi}{T_0}t+\varphi\right)\right]$
Donc   $E_C=\dfrac12k\left(X_m^2-x^2\right)$

$E_C=\dfrac12k\left(X_m^2-x^2\right)$

$E_m=E_C+E_{pe}$

$E_m=\dfrac12k\left(X_m^2\right)$

Conservation de l’énergie mécanique :
sans frot  $E_m=Cte\ \leftrightarrow\ \dfrac{dE_m}{dt}=0$

$T_0=2T_e=2*5=10ms$

Travail de la for de rappel :

$W_{AB}(\vec F)=-\Delta E_{pe}$

$\Delta E_{pe}=E_{pe}(B)-E_{pe}(A)=\dfrac12.kx_B^2-\dfrac12.kx_A^2$
2^ème cas : Non conser de l’énergie mécanique : avec frottement : $\Delta E_m=W(\vec R)$

Pendule élastique vertical :

Équation différentielle :

Étude d’équilibre :   $\vec P+\vec T=0$
projection sur Ox : $mg-k.\Delta l=0$

Étude dynamique :
$\vec P+\vec T=m\vec a$
$mg-k.(\Delta l+x)=m\ddot x$
$mg-k.\Delta l-kx=m\ddot x$
$\ddot x+\dfrac kmx=0$